专题08 幂、指数、对数函数（思维导图+知识清单+核心素养分析+方法归纳）（原卷版）.docxVIP

专题08幂、指数、对数函数

目录

01

思维导图

02

知识清单

03

核心素养分析

04

方法归纳

一、幂函数

1．幂函数

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.

(2)五种幂函数的图象

(3)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

二、指数运算与指数函数

Ⅰ.根式

1.如果xn＝a，那么eq\a\vs4\al(x)叫做a的n次方根；

2.式子eq\r(n,a)叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数；

3.(eq\r(n,a))n＝eq\a\vs4\al(a)．当n为奇数时，eq\r(n,an)＝eq\a\vs4\al(a)；当n为偶数时，eq\r(n,an)＝|a|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a0.))

Ⅱ.分数指数幂的意义

1.分数指数幂

①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a0，m，n∈N*，且n1)．

②负分数指数幂：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a0，m，n∈N*，且n1)．

③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

2.实数指数幂的运算性质

①aras＝ar＋s(a0，r，s∈R)．②(ar)s＝ars(a0，r，s∈R)．③(ab)r＝arbr(a0，b0，r∈R)．

Ⅲ．指数函数的概念、图象与性质

1．指数函数的概念

函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数．

温馨提示：形如y＝kax，y＝ax＋k?k∈R且k≠0，a0且a≠1?的函数叫做指数型函数，不是指数函数.

2．指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象与性质

底数

a1

0a1

图象

性质

定义域为eq\a\vs4\al(R)，值域为(0，＋∞)

图象过定点(0,1)

当x0时，恒有y1；当x0时，恒有0y1

当x0时，恒有0y1；当x0时，恒有y1

在定义域R上为增函数

在定义域R上为减函数

注意

指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象和性质与a的取值有关，应分a1与0a1来研究

温馨提示：

指数幂运算原则

（1）指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：

①必须同底数幂相乘，指数才能相加；

②运算的先后顺序．

(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．

(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

2.指数函数图象的画法

画指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,a))).

3．指数函数的图象与底数大小的比较

1.如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象越高，底数越大．

2.有关指数函数图象问题的解题思路

(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除；

(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；

(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解；

(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．

3.比较指数式的大小的方法是

(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；

(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．

4.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．

三、对数运算与对数函数

1.对数式的运算

(1)对数的定义：一般地，如果且，那么数叫做以为底的对数，记作，读作以为底的对数，其中叫做对数的底数，叫做真数．

(2)常见对数：

①一般对数：以且为底，记为，读作以为底的对数；

②常用对数：以为底，记为；

③自然对数：以为底，记为；

(3)对数的性质和运算法则：

①；；其中且；②(其中且，)；

③对数换底公式：；