专题08 函数与方程（原卷版）.docxVIP

专题08函数与方程

目录

TOC\o1-3\h\z\u题型一：函数零点存在性 2

题型二：函数零点个数的判断 3

题型三：函数零点个数求参数 4

题型四：嵌套函数零点问题 6

题型五：最大最小值函数与零点问题 8

知识点总结

知识点总结

函数的零点

(1)函数零点的定义：使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．

函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与零点的关系

Δ0

Δ＝0

Δ0

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a0)的图象

与x轴的交点

(x1,0)，(x2,0)

(x1,0)

无交点

零点个数

2

1

0

【常用结论与知识拓展】

1．若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

3．连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

例题精讲

例题精讲

函数零点存在性

【要点讲解】(1)定理法:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)·f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.

(2)图象法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有公共点来判断.

函数在以下哪个区间内一定存在零点

A． B． C． D．

函数在下列区间内一定存在零点的是

A． B． C． D．

函数的零点所在的区间为

A． B． C． D．

函数的零点所在的大致区间是

A． B． C． D．

函数的零点所在的区间为

A． B． C． D．

函数零点个数的判断

【要点讲解】(1)方程法:令f(x)=0,如果能求出解,那么有几个解就有几个零点.

(2)定理法:利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续的曲线,且f(a)·f(b)0,还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点.

(3)图象法:画出两个函数的图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值,就有几个不同的零点.

函数在区间，上的零点个数是

A．3 B．4 C．5 D．6

函数的零点个数为

A．0 B．1 C．2 D．3

设函数的定义域为，，，当，时，，则函数在区间上零点的个数为

A．4 B．5 C．6 D．7

已知定义在上的函数满足，，且当时，，则函数在，上的零点个数为

A．9 B．11 C．13 D．15

已知函数的周期为2，当，时，．如果，那么的零点个数是

A．3 B．4 C．5 D．6

已知函数，若函数，则函数的零点个数为

A．1 B．3 C．4 D．5

已知函数，则函数的零点个数是

A．1 B．0 C．2 D．3

函数零点个数求参数

【要点讲解】

函数在区间上存在零点．则实数的取值范围是

A． B． C． D．

设有三个不同的零点，则的取值范围是

A． B． C． D．

已知关于的方程有三个不同的实数解，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

已知函数恰有两个零点，则的取值范围为

A．，， B．，，

C．，， D．，，

已知函数有3个零点，则实数的取值范围是

A．， B． C． D．，

已知函数，若方程恰有四个不等的实数根，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

已知函数，，若存在2个零点，则实数的取值范围是

A． B．， C． D．，

嵌套函数零点问题

【要点讲解】1.求嵌套函数零点中的参数范围可抓住分段函数的图象性质,由y=a与y=f(t)的图象,确定t1,t2的取值范围,进而由t=f(x)的图象确定零点的个数.

2.含参数的嵌套函数方程,还应注意让参数的取值“动起来”,抓临界位置,动静结合.

已知函数为自然对数的底数，则函数的零点个数为

A．5 B．6 C．7 D．3

已知函数，若函数有3个不同的零点，则实数的取值范围为

A． B．

C． D．

已知函数，则函数的零点个数为