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考研数学二分类模拟题39

解答题

1.?设A为三阶矩阵，A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，其对应的线性无关的特征向量分别为，向量，求Anβ．

正确答案：

[解]方法一令，则，则，于是

??方法二令β=x1ξ1+x2ξ2+x3ξ3，解得x1=2，x2=-2，x3=1，则

??

?

2.?设A是n阶矩阵，λ是A的特征值，其对应的特征向量为X，证明：λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2有特征值λ，其对应的特征向量为X，X是否一定为A的特征向量?说明理由．

正确答案：

[解]由AX=λX得A2X=A(AX)=A(λX)=λAX=λ2X可知λ2是A2的特征值，X为特征向量．若A2X=AX,其中，A2=O，A2的特征值为λ=0，取显然A2X=0X,，即X不是A的特征向量，因此结论未必成立．

?

设A，B为n阶矩阵．

3.?是否有AB～BA．

正确答案：

[解]一般情况下，AB与BA不相似，如

??，

??因为r(AB)≠r(BA)，所以AB与BA不相似．

?

4.?若A有特征值1，2，…，n，证明：AB～BA．

正确答案：

[证明]因为|A|=n!≠0，所以A为可逆矩阵，取P=A，则有P-1ABP=BA，故AB～BA．

?

设α为n维非零列向量，

5.?证明：A可逆并求A-1；

正确答案：

[证明]因为所以A可逆且A-1=A．

?

6.?证明：α为矩阵A的特征向量．

正确答案：

[证明]因为，所以α是矩阵A的特征向量，其对应的特征值为-1．

?

设矩阵有一个特征值为3．

7.?求y．

正确答案：

[解]因为3为A的特征值，所以|3E-A|=0，解得y=2．

?

8.?求可逆矩阵P，使得(AP)T(AP)为对角矩阵．

正确答案：

[解](AP)T(AP)=PTATAP=PTA2P，

??令|λE-A1|=0得λ1=1，λ2=9，

??当λ=1时，由(E-A1)X=0得λ=9时，由(9E-A1)X=0得

??单位化得，令，则

?

设A是三阶实对称矩阵，r(A)=1，A2-3A=O，设(1，1，-1)T为A的非零特征值对应的特征向量．

9.?求A的特征值．

正确答案：

[解]，因为r(A)=1，所以λ1=3，λ2=λ3=0．

?

10.?求矩阵A．

正确答案：

设特征值0对应的特征向量为(x1，x2，x3)T，则x1+x2-x3=0，则0对应的特征向量为α2=(-1，1，0)T，α3=(1，0，1)T，令

??

?

11.?设三阶实对称矩阵A的特征值为λ1=8，λ2=λ3=2，矩阵A的属于特征值λ1=8的特征向量为，属于特征值λ2=λ3=2的特征向量为，求属于λ2=λ3=2的另一个特征向量．

正确答案：

[解]因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，所以有

??对应的特征向量为

??令λ2=λ3=2对应的另一个特征向量为，由不同特征值对应的特征向量正交，得

?

12.?设n阶矩阵A满足(aE-A)(bE-A)=O且a≠b．证明：A可对角化．

正确答案：

[证明]由(aE-A)(bE-A)=O，得|aE-A|·|bE-A|=0，则|aE-A|=0或者|bE-A|=0．又由(aE-A)(bE-A)=O，得r(aE-A)+r(bE-A)≤n．

??同时r(aE-A)+r(bE-A)≥r[(aE-A)-(bE-A)]=r[(a-b)E]=n．

??所以r(aE-A)+r(bE-A)=n．

??(1)若|aE-A|≠0，则r(aE-A)=n，所以r(bE-A)=0，故A=bE．

??(2)若|bE-A|≠0，则r(bE-A)=n，所以r(aE-A)=0，故A=aE．

??(3)若|aE-A|=0且|bE-A|=0，则a，b都是矩阵A的特征值．

??方程组(aE-A)X=0的基础解系含有n-r(aE-A)个线性无关的解向量，即特征值a对应的线性无关的特征向量个数为n-r(aE-A)个；

??方程组(bE-A)X=0的基础解系含有n-r(bE-A)个线性无关的解向量，即特征值b对应的线性无关的特征向量个数为n-r(bE-A)个．

??因为n-r(aE-A)+n-r(bE-A)=n，所以矩阵A有n个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．

?

13.?设非零n维列向量α，β正交且A=αβT．证明：A不可以相似对角化．

正确答案：

[证明]令λ为矩阵A的特征值，X为λ所对应的特征向量，则AX=λX，显然A2X=λ2X，因为α，β正交，所以A2=αβT·αβT=O，于是λ2X=0，而X≠0，故矩阵A的特征值为λ1=λ2=…=λn=0．

??又由α，β都是非零向量得A≠O，

??因为r(0E-A)=rA