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考研数学二分类模拟题29

解答题

1.?讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．

正确答案：

[解]因为，且，所以，即函数f(x，y)在点(0，0)处连续．

??因为，所以fx(0，0)=0，根据对称性得fy(0，0)=0，即函数f(x，y)在(0，0)处可偏导．

??

??因为不存在，所以函数f(x，y)在(0，0)不可微．

?

2.?讨论在点(0，0)处的连续性、可偏导性及可微性．

正确答案：

[解]因为，所以f(x，y)在点(0，0)处连续．因为，所以fx(0，0)=0，由对称性得fy(0，0)=0，即函数f(x，y)在点(0，0)处可偏导．

??

??因为，且，所以函数f(x，y)在点(0，0)处可微．

?

3.?设z=f(etsint，tant)，求

正确答案：

[解]

?

4.?设z=ex2+y2sinxy，求

正确答案：

[解]

?

5.?设，f有一阶连续的偏导数，求

正确答案：

[解]

??

?

6.?设u=xyz，求du．

正确答案：

[解]u=xyz=eyzlnx，

??

?

7.?设函数z=z(x，y)由方程x2+y2+z2=xyf(z2)所确定，其中f是可微函数，计算并化成最简形式．

正确答案：

[解]x22+y2+z2=xyf(x2)两边对x求偏导得，解得；

??x2+y2+z2=xyf(z2)两边对．y求偏导得，解得，故

?

8.?设f(t)二阶可导，g(u，v)二阶连续可偏导，且z=f(2x-y)+g(x，xy)，求

正确答案：

[解]

?

9.?设z=f(exsiny，x2+y2)，且f(u，v)二阶连续可偏导，求

正确答案：

[解]

??

?

10.?设z=f(x3+y2，xy，x)，其中f(u，v，ω)二阶连续可偏导，求

正确答案：

[解]

??=4xyf11+2(x2+y2)f12+f2+xyf22+2yf31+xf32．

?

11.?设z=z(x，y)由x-yz+yez-x-y=0确定，求及dz．

正确答案：

[解]方程x-yz+yez-x-y=0两边对x求偏导得解得

??方程x-yz+yez-x-y=0两边对y求偏导得解得

??

?

12.?设z=f(x-y+g(x-y-z))，其中f，g可微，求

正确答案：

[解]等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对x求偏导得，解得

??等式z=f(x-y+g(x-y-z))两边对y求偏导得，解．

?

13.?设u=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数．证明：

正确答案：

[证明]，z=y+xφ(z)两边对x求偏导得，

??解得则z=y+xφ(z)两边对y求偏导得，解得，则，所以

?

14.?设xy=xf(z)+yg(z)，且xf(z)+yg(z)≠0，其中z=z(x，y)是x，y的函数．证明：

??

正确答案：

[证明]xy=xf(z)+yg(z)两边分别对x，y求偏导，得及解得于是

??

?

15.?设z=f(x，y)由方程z-y-x+xez-y-x=0确定，求dz．

正确答案：

[解]对z-y-x+xez-y-x=0两边求微分，得

??dz-dy-dx+ez-y-xdx+xez-y-x(dz-dy-dx)=0，

??解得

?

16.?设u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程exy-y=0与ez-xz=0确定，求

正确答案：

[解]，方程exy-y=0两边对x求导得，解得

??方程ez-xz=0两边对x求导得，解得

??则

?

17.?设y=y(x)，z=z(x)是由方程z=xf(x+y)和F(x，y，z)=0所确定的函数，其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求

正确答案：

[解]z=xf(x+y)及F(x，y，z)=0两边对x求导数，得

??

??解得

?

18.?设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求

正确答案：

[解]将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得

??

?

19.?设且F可微，证明：

正确答案：

[证明]两边对x求偏导得解得两边对y求偏导得，解得，于是

?

20.?设变换可把方程简化为，求常a．

正确答案：

[解]将u，v作为中间变量，则函数关系为则有

??

??将上述式子代入方程得，

??根据题意得解得a=3．

?

21.?设z=f[x+φ(x-y)，y]，其中f二阶连续可偏导，φ二阶可导，求

正确