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闭区间上连续函数的性质

§1．6闭区间上连续函数的性质一、有界性与最值定理二、零点定理与介值定理2

一、有界性与最大值最小值定理定义:例如,1-1xyo3

定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.note:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.4

定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证注在开区间连续的函数可能没xyO121有界.例如5

二、零点定理与介值定理定义:几何解释:6

MBCAmab证由零点定理,7

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例1证由零点定理,同理可证,奇次实系数多项式至少有一个实根.于是8

例2证由零点定理,证明的关键:构造辅助函数F(x)=f(x)—x.思考题下述命题是否正确？答：不正确.例：函数9

例3证用反证法.设f不是严格单调的,则存在x1x2x3xx1x2x3x10

x1x2x3x以第二种情形,即为例.不妨设由介值定理,在区间内,有,使在区间内,有,使这表明,两个不同的点对应于同一个函数值,这与f是一一映射矛盾.这就证明了f是严格单调的.证毕.由此推得,两个区间之间连续的一一满射,作为函数一定是严格单调的.因此,由上节定理,我们得定理区间上连续函数的单值反函数必为连续函数.作业习题1.62,3.11