新高考数学一轮复习考点精讲练+易错题型第20讲 导数的综合应用（解析版）.docVIP

导数的综合应用

【基础知识网络图】

导数的应用

极值与最值问题

函数的单调性问题

切线斜率、方程

切线斜率、方程

【基础知识全通关】

1、求切线方程的一般方法

（1）求出函数SKIPIF10在SKIPIF10处的导数SKIPIF10；

（2）利用直线的点斜式得切线方程。

求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.

2、判定函数的单调性

（1）函数的单调性与其导数的关系

设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当SKIPIF10时，y=f(x)在相应区间上为增函数；当SKIPIF10时，y=f(x)在相应区间上为减函数；当恒有SKIPIF10时，y=f(x)在相应区间上为常数函数。

①在区间(a,b)内，SKIPIF10是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！例如：SKIPIF10而f(x)在R上递增。

②学生易误认为只要有点使SKIPIF10，则f(x)在(a，b)上是常函数，要指出个别导数为零不影响函数的单调性，同时要强调只有在这个区间内恒有SKIPIF10，这个函数y=f(x)在这个区间上才为常数函数。

③要关注导函数图象与原函数图象间关系。

（2）利用导数判断函数单调性的基本步骤

①确定函数f(x)的定义域；

②求导数SKIPIF10；

③在定义域内解不等式SKIPIF10；

④确定f(x)的单调区间。

函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。

3、函数的极值

（1）极值的概念

一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，

①如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)；

②如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作y极小值=f(x0)。

极大值与极小值统称极值。在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。

①在函数的极值定义中，一定要明确函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，否则无从比较。

②函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念，在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

③极大值与极小值之间无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值。极小值不一定是整个定义区间上的最小值。

④函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。

⑤连续函数的某一点是极值点的充要条件是该点两侧的导数异号。我们主要讨论可导函数的极值问题，但是函数的不可导点也可能是极值点。如某些间断点也可能是极值点，再如y=|x|，x=0。

⑥可导函数在某点取得极值，则该点的导数一定为零，反之不成立。在函数取得极值处，如果曲线有切线的话，则切线是水平的，从而有SKIPIF10。但反过来不一定。如函数y=x3，在x=0处，曲线的切线是水平的，但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大，也不比它附近的点的函数值小。

（2）求极值的步骤

①确定函数的定义域；

②求导数；

③求方程SKIPIF10的根；

④检查SKIPIF10在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值。(最好通过列表法)

函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。f＇(x0)=0仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右f＇(x)的符号产生变化。

4、函数的最值

函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值。

（1）最值与极值的区别与联系：

①函