2.2 基本不等式（解析版）.docxVIP

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2.2基本不等式

知识点一基本不等式的理解

【

【解题思路】基本不等式的理解

(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．

(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b?eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；

仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)?a＝b.

总结：一正二定三等

【例1-1】（22-23高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（????）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故选：.

【例1-2】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（????）

A．最小值为2 B．最大值为2

C．最小值为2 D．最大值为2

【答案】C

【解析】当时，，当且仅当即时，等号成立；

当时，，

当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误；

任意，，当且仅当时，

即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确；

当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值，

故D错误.故选：C.

【例1-3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）（多选）下列判断正确的有（????）

A． B．

C． D．

【答案】BCD

【解析】对于A选项，当时，，A错；

对于B选项，当时，，

则，

当且仅当时，即当时，等号成立，B对；

对于C选项，因为，则，

由基本不等式可得，

当且仅当时，即当时，等号成立，C对；

对于D选项，因为，则，则，

所以，，

当且仅当时，即当时，等号成立，

但，故等号不成立，所以，，D对.

故选：BCD.

【变式】

1．（22-23·福建龙岩·阶段练习）当时，函数（????）

A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4

【答案】A

【解析】，，

，当且仅当时等号成立，

故选：A

2．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；

对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；

对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；

对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.

故选：C.

3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（???）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误；

对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确；

对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，

所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确；

对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D错误；故选：BC.

知识点二常数替换型

【

【解题思路】常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．

【例2-1】（23-24重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（????）

A． B． C．2 D．4

【答案】B

【解析】因为，所以，

所以，

当且仅当，即时取等.

故的最小值为.

故选：B.

【例2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由，得，

所以，

当且仅当时取等号，最小值为.

故选：B.

【例2-3】（23-24高一·重庆·期末）已知均为实数且，则的最小值为.

【答案】1

【解析】因为，所以，

所以

，

当且仅当，即等号成立，

所以的最小值为1.

故答案为：1.

【例2-4】（23-24高一·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为.

【答案】

【解析】令，则，且，

所以，又，

所以

，

当且仅当，即，时等号成立.

故答案为：.

【变式】

1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（????）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】，，

当且仅当，即，时等号成立.

故选：B.

2．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（????）

A．2 B． C．3 D．

【答案】B

【解析】由正数，满足，

得，

当且仅当，即，时取等号，

所以的最小值为．

故选：B

3．（2024·江苏扬州）已知，，且，则的最小值为（?