第3节 导数与函数的极值、最值--2025年高考数学复习讲义及练习解析.pdf

2025年高考数学复习讲义及练习解析

第三节导数与函数的极值、最值

课标解读考向预测

近三年高考题中利用导数求函数的极值和最

熟练掌握极值的概念、极值存在的必要条件

值是必考的考点，预计2025年高考极值和最

和充分条件，能求函数的极值，能求闭区间

值问题在选择题、填空题和解答题中都有可

上连续函数的最值，能求实际问题中的最值.

能出现，难度保持稳定或略有降低.

必备知识——强基础

1．函数的极值

(1)函数的极小值

函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而

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且在点x＝a附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，

f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．

(2)函数的极大值

函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而

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且在点x＝b附近的左侧f′(x)0，右侧f′(x)0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，

f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．

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(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．

2．函数的最大(小)值

(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件

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如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最

小值．

(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤

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①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；

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②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大

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值，最小的一个是最小值．

1．对于可导函数f(x)，f′(x)＝0是函数f(x)在x＝x处有极值的必要不充分条件．

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2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则该极值点一定是函数的最值点．

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3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值．

4．函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小

关系．

1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数的极小值一定是函数的最小值．()

(2)函数的极小值一定不是函数的最大值．()

(3)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．()

答案(1)×(2)√(3)×

2．小题热身

(1)(人教A选择性必修第二册5.3.2例5改编)函数f(x)＝2x－xlnx的极值是()

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A．