课件线代课佚名2 4.pptx

1§4向量组的秩定义5设有向量组A，如果在A中能选出r个向量满足（i）向量组A0：线性无关；（ii）向量组A中任意r+1个向量（若A中有r+1个向量的话）都线性相关，那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关组最大无关组）；最大无关组所含向量个数r称为向量组的秩.只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.定理6矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩。注（简称

2所有r+1阶子式均为零，知A中任意r+1个列向量都线性相关.因此Dr所在的r列是A的列向量组的一个最大无关组，所以列向量组的秩等于r.类似可证矩阵A的行向量组的秩也等于R(A).向量组的秩也记作R.（1）若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，r列(行）即是列（行）向量组的一个最大无关组.说明：则Dr所在的证设R(A)=r,并设r阶子式Dr≠0.根据定理2，由Dr≠0知Dr所在的r列线性无关；又因为A中（2）向量组的最大无关组一般不是唯一的.如例5R，都是向量组;;的最大无关组.

3（3）向量组A和它的最大无关组A0是等价的.因为A0是A组的一部分，所以A0组总能由A组线性表示;由定义5的条件（ii）知，对于A中任一向量a，r+1个向量线性相关，又线性无关，根据定理5（3）知a能由线性表示，线性表示。所以A组与A0组等价。证例1全体n维向量构成的向量组记作Rn，无关组及Rn的秩。解例1中已证明n维单位坐标向量构成的向量组E:是线性无关的，又根据定理5（2），知Rn中任意n+1个向量都线性相关，因此向量组E是Rn的一个最大无关组，且Rn的秩为n.注：任何n个线性无关的n维向量组都是Rn的最大无关组.反之,即A组能由A0组求Rn的一个最大

4例2.设矩阵求A的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关组的列向量用最大无关组线性表示.解

5R(A)=3,故列向量组的最大无关组含3个向量。行变换R=3.所以线性无关，是A的一个最大无关组。行变换所以

6设向量组B能由向量组A线性表示，则向量组B的秩不大于向量组A的秩.证设向量组B的最大无关组为B0：向量组A的一个最大无关组为A0：要证r≤s.因B0组能由B组线性表示，B组能由A组线性表示，A组能由A0组线性表示，故B0组能由A0组线性表示，由定理3,所以r≤s.定理推论1等价的向量组的秩相等.证设向量组A与向量组B的秩依次为s和r,由于两个向量组等价，即两个向量组能相互线性表示，故s≤r与r≤s同时成立，所以s=r.

7推论2设向量组B是向量组A的部分组,若向量组A能则向量组B是向量组A的一个最大无关组.证设向量组B含r个向量，则它的秩为r.因A组能由B组线性表示，故A组的秩≤r,则A组中任意r+1个向量线性相关.所以向量组B满足定义5所规定的最大无关组的条件.例3设向量组B能由向量组A线性表示，且它们的秩相等，证明向量组A与向量组B等价.由向量组B线性表示，且线性无关，（最大无关组的等价定义）证.设向量组A和B的秩都为r.因B组能由A组线性表示,故A组和B组合并而成的向量组（A,B）的秩也为r.所以A组与B组等价.

8例4设齐次线性方程组的全体解向量构成的向量组为S，求S的秩.解先求方程组的通解,因此先将其系数矩阵A化简为行最简形得令自由未知量

9得通解若记此式为，可知：且S能由向量组线性表示；因为向量组的四个分量显然不成比例,故线性无关.因此，根据最大无关组的等价定义知是S的最大无关组.

10小结:2.矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于它的行向量组的秩.1.最大无关组、向量组的秩；（1）若Dr是矩阵A的一个最高阶非零子式，(行）即是列（行）向量组的一个最大无关组;则Dr所在的r