2024年中考数学冲刺复习资料：二次函数压轴题(含答案).doc

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二次函数压轴题

面积类

1．如图，抛物线经过点A〔﹣1，0〕、B〔3，0〕、C〔0，3〕三点．

〔1〕求抛物线的解析式．

〔2〕点M是线段BC上的点〔不与B，C重合〕，过M作MN∥y轴交抛物线于N，假设点M的横坐标为m，请用m的代数式表示MN的长．

〔3〕在〔2〕的条件下，连接NB、NC，是否存在m，使△BNC的面积最大？假设存在，求m的值；假设不存在，说明理由．

2．如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，B点坐标为〔4，0〕．

〔1〕求抛物线的解析式；

〔2〕试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；

〔3〕假设点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．

1.分析：

〔1〕了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．

〔2〕先利用待定系数法求出直线BC的解析式，点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长．

〔3〕设MN交x轴于D，那么△BNC的面积可表示为：S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN〔OD+DB〕=MN?OB，MN的表达式在〔2〕中已求得，OB的长易知，由此列出关于S△BNC、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出△BNC是否具有最大值．

解答：

解：〔1〕设抛物线的解析式为：y=a〔x+1〕〔x﹣3〕，那么：

a〔0+1〕〔0﹣3〕=3，a=﹣1；

∴抛物线的解析式：y=﹣〔x+1〕〔x﹣3〕=﹣x2+2x+3．

〔2〕设直线BC的解析式为：y=kx+b，那么有：

，

解得；

故直线BC的解析式：y=﹣x+3．

点M的横坐标为m，MN∥y，那么M〔m，﹣m+3〕、N〔m，﹣m2+2m+3〕；

∴故MN=﹣m2+2m+3﹣〔﹣m+3〕=﹣m2+3m〔0＜m＜3〕．

〔3〕如图；

∵S△BNC=S△MNC+S△MNB=MN〔OD+DB〕=MN?OB，

∴S△BNC=〔﹣m2+3m〕?3=﹣〔m﹣〕2+〔0＜m＜3〕；

∴当m=时，△BNC的面积最大，最大值为．

2.考点：二次函数综合题．.

解：〔1〕将B〔4，0〕代入抛物线的解析式中，得：

0=16a﹣×4﹣2，即：a=；

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2．

〔2〕由〔1〕的函数解析式可求得：A〔﹣1，0〕、C〔0，﹣2〕；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OA?OB，又：OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，得：∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径；

所以该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：〔，0〕．

〔3〕已求得：B〔4，0〕、C〔0，﹣2〕，可得直线BC的解析式为：y=x﹣2；

设直线l∥BC，那么该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：

x+b=x2﹣x﹣2，即：x2﹣2x﹣2﹣b=0，且△=0；

∴4﹣4×〔﹣2﹣b〕=0，即b=﹣4；

∴直线l：y=x﹣4．

所以点M即直线l和抛物线的唯一交点，有：

，解得：即M〔2，﹣3〕．

过M点作MN⊥x轴于N，

S△BMC=S梯形OCMN+S△MNB﹣S△OCB=×2×〔2+3〕+×2×3﹣×2×4=4．

平行四边形类

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A〔3，0〕、B〔0，﹣3〕，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．

〔1〕分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．

〔2〕假设点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．

〔3〕是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，请直接写出点P的横坐标；假设不存在，请说明理由．

4．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A〔0，1〕，B〔2，0〕，O〔0，0〕，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．

〔1〕一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；

〔2〕设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？假设存在，请求出P的坐标；假设不存在，请说明理由．

〔3〕在〔2〕的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B的两条性质．

3.考点：二次函数综合题；解一元二次方程－因式分解法；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定．.

专题：压轴题；存在型．

分析：

〔1〕分别利用待定系数法求两函数的解析式：把A〔3，0〕B〔0，﹣3〕分别代入y=x2+mx+