模块二大招17数形结合找临界(含答案解析）.docx

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大招17??数形结合找临界

一．数形结合找临界的常见情形：

1．直曲相切双曲公切（即两曲线相切于一点时）找临界

在探讨函数的零点个数时我们常将问题转化为“研究函数图象与直线交点的个数”．这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个数，从而解决问题．在实际计算过程中，临界情形大多数为直线与曲线相切的时候．

注意：为什么直曲相切、双曲公切的时候可能是临界情形?

当函数的图象与直线相切时，切点满足，进一步得到，则很可能是函数的极值点（如果在左右两侧同号，则不是极值点），因此影响了函数的零点个数变或不变，同时也影响了函数的图象与直线交点个数变或不变．所以在运用数形结合法时，直曲相切的情况需要单独讨论，研究是否为临界情形．同理，当探讨函数的零点个数时，双曲公切，即时也可能为临界情形．

2．端点间断点找临界

除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线（或区间）的端点以及函数图象的间断点处函数零点个数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形．

二．数形结合找临界的一般步骤：

第一步：将“函数的零点个数”的相关问题转化为“函数图象与函数图象的交点个数”的相关问题（有时需要对做一定的变形，以函数图象与函数图象容易画出为标准）．

第二步：画出函数与函数的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点情形，得到全部的临界情形．

第三步：数形结合解答问题．

【典例1】若函数有两个零点，则实数的取值范围是（????）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】本题是由函数的零点个数去求参数的范围问题，根据函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标之间可以相互转化，可以将其转化为直曲问题.即与交点问题，

【解析】由，即与交点问题，由图可知，时，一定有两个交点，时，有仅有一个交点，故选D．

【题后反思】本题除了转化为直线与曲线的位置关系，其实还可以研究原函数的特征，有另一种解法：因为，所以．

①当时，恒成立，故函数在上单调，不可能有两个零点；

②当时，令，得，函数在上单调递减，在，上单调递增，所以的最小值为，令，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减．所以，所以的最小值为，即函数有两个零点．综上实数的取值范围是．

【温馨提醒】本题中的直线恒过，正好在的上方，只需要斜率大于0就会有两个交点，如若恒过的定点在的下方，必然会考虑到临界状态：相切情况.

【举一反三】

1．已知函数，给出下列四个结论：

①若，恰有2个零点；

②存在负数，使得恰有1个零点；

③存在负数，使得恰有3个零点；

④存在正数，使得恰有3个零点．

其中所有正确结论的序号是．

2．已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为

【典例2】（多选题）【2024湖南三湘创新发展联合体9月月考】关于的不等式在上恒成立，则（）

A．????B．????C．????D．

【大招指引】本题是一个连续型的不等式恒成立问题，通过在不等式每部分中减去，可得到，记，，通过研究会发现直线为与的图象在处的公切线时这一临界状态才能使原不等式恒成立，此时，，

【解析】由，可得．

记，，令，，

则，令，则恒成立，

所以在上单调递增且，所以当时，，所以，

当且仅当时，等号成立．又，．且，

所以直线为与的图象在处的公切线时才能使原不等式恒成立，此时，，故选:BC．

【题后反思】本题给定得情况并非是两曲线有公切线得临界情况，而是通过变形化简得到得，所以很多问题需要观察，变形，变化为我们所熟悉得类型．

【举一反三】

3．已知，，若函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数a的取值范围为（????）

A． B． C． D．

4．已知函数的图象与函数的图象有两个交点，则实数的取值范围是．

【典例3】已知函数若函数恰有为函数4个零点，则实数的取值范围是______．

【大招指引】本题含有绝对值，并且还有分段函数，因此先将函数化简为，同时又发现，从而恰有4个零点转化为的图象与函数的图象有三个交点，根据图象，可讨论直曲相切以及间断点情形，从而数形结合求得实数的取值范围．

【解析】观察发现，先根据，将函数

恰有4个零点转化为的图象与函数的图象有三个交点，接着根据两个函数的大致图象，讨论直曲相切以及间断点情形，从而数形结合求得实数的取值范围．

①当时，，两个函数的图象只有一个交点，不成立．于是，进而函数图象与轴的交点为，由于当知，于是函数图象恒过点．

②当时，，如图1所示，得到函数的图象与函数的图象有三个交点，符合题意．

③当时，（易遗漏这种情况），如图2所示，若函数的图象与