2024-2025年北师大版数学必修第二册6.5.1直线与平面垂直(带答案).docx

§5垂直关系

5．1直线与平面垂直

必备知识基础练

知识点一直线与平面垂直的性质

1．若a，b表示直线，α表示平面，下列命题中正确的个数为()

①a⊥α，b∥α?a⊥b;②a⊥α，a⊥b?b∥α；

③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b.

A．1B．2C．3D．0

2．下面四个命题：

①过一点和一条直线垂直的直线有且只有一条；

②过一点和一个平面垂直的直线有且只有一条；

③过一点和一条直线垂直的平面有且只有一个；

④过一点和一个平面垂直的平面有且只有一个．

其中正确的是()

A．①④B．②③C．①②D．③④

知识点二直线与平面垂直的判定

3．已知α，β，γ为平面，l，m，n为直线，则下列条件能推出l⊥β的是()

A．α⊥β，α∩β＝n，l⊥nB．α⊥γ，β⊥γ，l⊥α

C．m⊥α，m⊥β，l⊥αD．α⊥γ，α∩γ＝l，β⊥γ

4.

如图，在三棱锥S-ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.

(1)求证：SD⊥平面ABC；

(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.

知识点三直线与平面所成的角

5．(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则()

A．直线BC1与DA1所成的角为90°

B．直线BC1与CA1所成的角为90°

C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45°

D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45°

6．在斜边为AB的Rt△ABC中，过点A作PA⊥平面ABC，AM⊥PB于点M，AN⊥PC于点N.求证：

(1)BC⊥平面PAC；

(2)若AB＝eq\r(2)AP，求直线AB与平面AMN所成角的正切值．

关键能力综合练

一、选择题

1．m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，下面有四种说法：

①m⊥α，n∥β，α∥β?m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α?n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α?n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β?n⊥β.

其中正确说法的个数为()

A．1B．2C．3D．4

2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是()

A．平面DD1C1CB．平面A1DB1

C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB

3．直线l与平面α内的两条直线都垂直，则直线l与平面α的位置关系是()

A．平行B．垂直

C．在平面α内D．无法确定

4．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则()

A．AB＝2AD

B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°

C．AC＝CB1

D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°

5．(探究题)如图所示，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是()

A．EF⊥平面αB．EF⊥平面β

C．PQ⊥GED．PQ⊥FH

二、填空题

6．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，B1H⊥D1O，H为垂足，则B1H与平面AD1C的位置关系是________．

7．如图，若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则异面直线AC与A1B所成的角的大小是________；直线A1B和底面ABCD所成的角的大小是________．

8．(易错题)给出下列条件(其中l为直线，α为平面)：

①l垂直于α内一五边形的两条边；

②l垂直于α内三条不都平行的直线；

③l垂直于α内无数条直线；

④l垂直于α内正六边形的三条边．

其中能够推出l⊥α的所有条件的序号是________．

三、解答题

9.

如图所示，四边形ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AE⊥SB.

学科素养升级练

1.

(多选题)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝CC1，点D，O分别是AB，BC1的中点，则下列结论正确的是()

A．AC1与平面ABC所成的角为60°

B.AC1∥平面CDB1

C．AC1与BB1所成的角为45°

D．AC1∥OD

2．(学科素养——逻辑推理)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝eq\r(2)，AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．

(1)证明：①EF∥A1D1；

②BA1⊥平面B1C1EF.

(2)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．

5．1直线与平面垂直

必备知识基础练

1．答