人教版高中总复习一轮数学精品课件 第7章 立体几何 7.4 空间直线、平面的垂直.ppt

7.4空间直线、平面的垂直第七章

内容索引0102第一环节必备知识落实第二环节关键能力形成

第一环节必备知识落实

【知识筛查】1.直线与直线垂直(1)异面直线所成的角①定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a∥a,b∥b,把直线a与b所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).②范围:设θ为异面直线a与b所成的角,则0°θ≤90°.当两条直线a,b相互平行时,我们规定它们所成的角为0°.所以空间两条直线所成角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.(2)两异面直线垂直如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作a⊥b.

问题思考空间中两条直线垂直,一定相交吗?不一定.

2.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义

温馨提示对线面垂直定义的理解

(1)“任意一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时,该直线就垂直于这个平面内的任意直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.(2)由定义可得,线面垂直?线线垂直,即若a⊥α,b?α,则a⊥b.

(2)点到平面的距离过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与垂足间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.(3)直线与平面垂直的判定定理

温馨提示1.定理可表述为“若线线垂直,则线面垂直”.

2.“两条相交直线”是关键,一定不要忽视这个条件,否则将导致结论错误.即“线不在多,相交就行”.

(4)直线与平面所成的角①定义:一条直线PA和一个平面α相交,但不与这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角.②规定:一条直线垂直于平面,称它们所成的角是90°;一条直线和平面平行,或在平面内,称它们所成的角是0°.③范围:直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.

(5)直线与平面垂直的性质定理

(6)线面距离、平行平面间的距离①一条直线与一个平面平行时,这条直线上任意一点到这个平面的距离,叫做这条直线到这个平面的距离.②如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等,我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

3.平面与平面垂直(1)二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.

(2)二面角的平面角①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②符号及范围范围:0°≤∠AOB≤180°.③规定:二面角的大小可以用它的平面角来度量,二面角的平面角是多少度,就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.

(3)平面与平面垂直①定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.②判定定理

③性质定理

3.判断面面垂直的有关结论(1)m∥n,m⊥α,n?β?α⊥β;(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n?α⊥β.4.如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内,即α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β?b?α.5.如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面,即α⊥β,γ∥β?γ⊥α.

6.如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内,即α⊥β,b⊥β?b∥α或b?α.7.如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,即α∩β=l,α⊥γ,β⊥γ?l⊥γ.8.三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即α⊥β,α∩β=l,β⊥γ,β∩γ=m,γ⊥α,γ∩α=n?l⊥m,m⊥n,l⊥n.

【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.()(2)若直线l与平面α内的无数条直线都垂直,则l⊥α.()(3)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.()(4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.()××√××

2.如图,O为正方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线与B1O垂直的是()A.A1D B.AA1C.A1D1 D.A1C1D