思维特训(九) 一线三等角模型的应用-精选学习文档.pdfVIP

思维特训(九)一线三等角模型的应用-精选学习文档--第1页

思维特训(九)一线三等角模型的应用

方法点津·

一线三等角模型的特征：如图9－Y－1，两个等角∠1，∠2的一边在同一直线AB上，

另一边在直线AB的同侧，第三个与它们相等的角∠3的顶点在直线AB上，角的两边(或两

边所在的直线)分别与两等角的非共线边(或该边所在的直线)相交(即在直线AB同侧有∠1＝

∠2＝∠3)，则有△ACD∽△BEC.若△ACD和△BEC中有一边对应相等，则这两个三角形全

等．

图9－Y－1

一线三等角模型的推导：如图9－Y－1，∵∠3＋∠ECB＝∠1＋∠ADC，∠3＝∠1，

∴∠ECB＝∠ADC.又∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△BEC.

典题精练·

类型一一线三等角与等腰三角形的结合

1．如图9－Y－2，在边长为9的等边三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE

的长．

图9－Y－2

2．如图9－Y－3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，∠EDF＝∠B.

BEDE

求证：(1)＝；

CDDF

(2)△BDE∽△DFE.

图9－Y－3

3．如图9－Y－4，在△ABC中，BA＝AC，P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD

＝∠B.

(1)求证：ACCD·＝CPBP·；

(2)若BA＝10，BC＝12，当PD∥BA时，求BP的长．

图9－Y－4

类型二在矩形中体会一线三等角

4．如图9－Y－5所示，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，

已知EC＝3cm，FC＝4cm，那么矩形ABCD的周长为________cm.

图9－Y－5

5．如图9－Y－6，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，E为射线BC上的一个动点，连

接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于

点M，N，当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为__________．

图9－Y－6

6．阅读理解：

如图9－Y－7，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别

连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就

把点E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把点E

叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．

解决问题：

(1)如图9－Y－7，∠A＝∠B＝∠DEC＝55°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB

上的相似点，并说明理由；

(2)如图9－Y－8，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝2，且A，B，C，D四点均在正方形

网格(网格中每个小正方形的边长均为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图中画出