同济大学《高等数学》(第四版)2-6节-隐函数的导数-由参数方程所确定的函数的导数-相关变化率.ppt

思考题解答不对．练习题练习题答案*一、隐函数的导数1.隐函数的概念所谓函数y=f(x)表示的是两个变量x和y之间的关系．这种对应关系在某种情况下，可以用一个较为明确的关系式来表示.例如,y=xn,y=sinx都反映了这种对应关系．这类关系的特点是：对自变量的每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量的取值．用这种方式表达的函数称为显函数．但某种情况下，这种对应关系是通过一个方程F(x,y)=0来确定的．通过方程可以确定x和y的对应关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显式方程来表示．例如方程x+y3-1=0就在区间(?∞+∞)上确定了一个隐函数y=y(x)。又如方程,x2+y2=1当限定y＞0，则在区间(-1,1)内确定了一个隐函数．一、隐函数的导数一、隐函数的导数在某些情况下，隐函数能转化成显函数，例如x+y3-1=0，相应的函数关系可转化成但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例如由所确定的隐函数就很难把它表达成一个显函数的形式．隐函数的求导方法——将方程两边同时对自变量x求导。一、隐函数的导数1.隐函数的概念然后,从这个式子中解出y?,就得到隐函数的导数.例1解解得注意：y是x的函数，则y的函数f(y)视为x的复合函数。例2解所求切线方程为显然通过原点.例3解解将方程两边同时对x求导，得：因为当x=0时，从原方程可以解得y=0所以解将方程两边同时对x求导，得：将上式两边再对x求导得：注意y是x的函数例4二、对数求导法所谓对数求导法，是通过其对数的方法，求出一些较为复杂的函数的导数．它所针对的对象主要是：1.幂指函数2.多个函数乘积形式．◆对数求导法两边取对数，得将方程两边同时对x求导（注意y是x的函数）得：解法2解法1转化为初等函数，直接求导法转化为隐函数，对数求导法例5一般地，利用对数求导法对幂指函数求导，可得到一般公式：练习设解答两边取对数，得两边对x求导（注意y是x的函数）得：对数求导法常用于幂指函数和以乘、除、乘方、开方运算为主的函数的求导。例6解解解所以(3)解等式两边取对数得三、由参数方程所确定的函数的导数在平面解析几何中，我们学习了用参数来表示曲线，例如，参数方程表示的中心在原点、半径为r的圆．通过参数θ可以建立y与x的对应关系：三、由参数方程所确定的函数的导数例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?由复合函数及反函数的求导法则得例6解所求切线方程为例7解例8解解四、相关变化率相关变化率问题:已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例9设圆的面积为A，半径为，如果半径以3mm/s的速度增加，求面积A的增加速度。解因为所以而所以例10解仰角增加率例11解水面上升之速率4000m五、小结隐函数求导法则:直接对方程两边求导;对数求导法:对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的变化率;解法:通过建立两者之间的关系,用链式求导法求解.思考题*