高考总复习二轮理科数学精品课件 专题6 函数与导数 培优拓展14 双变量问题的转化.ppt

培优拓展双变量问题的转化

在解决函数与导数综合题时,我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题,由于两个变量都在变动,因此不知把哪个变量当成自变量进行函数研究,从而无法展开思路,造成无从下手的感觉,正因为如此,这样的问题往往穿插在高考试卷压轴题的某些步骤之中,是考生感到困惑的难点问题之一,这时针对不同的题设条件给出处理双变量问题的相应策略,希望给同学们以帮助和启发.

一、等价转化为函数的最值或值域问题

规律方法双变量存在性或任意性问题的基本类型与“等价转化”策略存在性或任意性问题的基本类型等价转化成的问题对?x1∈A,都?x2∈B,使得g(x2)=f(x1)成立f(x)的值域是g(x)的值域的子集?x1∈A及x2∈B,使得f(x1)=g(x2)成立f(x)的值域和g(x)的值域的交集不为空集对?x1∈A及x2∈B,都有f(x1)g(x2)成立[f(x)]max[g(x)]min?x1∈A及x2∈B,使f(x1)g(x2)成立[f(x)]min[g(x)]max对?x1∈A,都?x2∈B,使得f(x1)g(x2)成立[f(x)]max[g(x)]max

对点训练1已知函数f(x)=7x2-28x-c,g(x)=2x3+4x2-40x.(1)对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,求实数c的取值范围;(2)存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,求实数c的取值范围;(3)对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数c的取值范围.

解令k(x)=f(x)-g(x)=-2x3+3x2+12x-c,x∈[-3,3],k(x)=-6x2+6x+12=0,得x1=-1,x2=2.x[-3,-1)-1(-1,2)2(2,3]k(x)-0+0-k(x)↘极小值↗0↘k(-3)=45-c,k(3)=9-c,k(-1)=-7-c,k(2)=20-c,∴最大值为45-c,最小值为-7-c,(1)∵对任意x∈[-3,3],都有f(x)≤g(x)成立,∴45-c≤0,即c≥45.(2)∵存在x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立,∴-7-c≤0,即c≥-7.

(3)f(x)=7x2-28x-c=7(x-2)2-28-c,x∈[-3,3],即有f(x)的最大值为f(-3)=147-c,g(x)=2x3+4x2-40x.g(x)=6x2+8x-40,x∈[-3,3],可得g(x)在(-3,2)上单调递减,在(2,3)上单调递增,得出g(x)的最小值为g(2)=-48,∵对任意x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),∴147-c≤-48,即有c≥195.

二、寻找两变量的关系转化为单变量函数问题例2(2022全国甲,理21)已知函数f(x)=-lnx+x-a.(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;(2)证明:若f(x)有两个零点x1,x2,则x1x21.

当0x1时,f(x)0,f(x)单调递减,当x1时,f(x)0,f(x)单调递增.则f(x)min=f(1)=e+1-a.要使得f(x)≥0恒成立,即满足f(x)min=e+1-a≥0,∴a≤e+1.故a的取值范围为(-∞,e+1].

规律方法求二元函数的最小值或证明二元的某种关系,通过二元之间的关系或二元之间的函数的关系,运用转化的思想进行消元,化归为熟悉的一元问题,再通过研究一元问题使原问题得到解决.

对点训练2(2023江西赣州二模)已知函数f(x)=x2-3x+lnx.(1)求函数f(x)的极值;(2)对于任意的x1,x2∈[1,2],当x1x2时,不等式x1x2[f(x1)-f(x2)]-m(x1-x2)0恒成立,求实数m的取值范围.

三、从双变量问题等价变换中构造函数求解

规律方法若题设条件中含有一个双变量的恒等式,通过对该恒等式进行等价变形,使恒等式两边的两个变量对应的代数式结构相同,就可以构造出一个函数,从而利用此函数求解得出结论.

对点训练3

四、利用换元法将两个变量转换成一个变量例4(2023四川乐山二模)已知函数f(x)=aex-x2有两个极值点x1,x2(x1x2).(1)求a的取值范围;(2)若ex1+(e-2)x2≥λx1x2,求λ的取值范围.

在(1,+∞)上单调递增,又由p(1)0,p(e)0,则存在t0∈(1,e),使得p(t0)=0,当t∈(1,t0)时,p(t)0,p(t)单调递减;当t∈(t0,+∞)时,p(t)0,p(t)单调递增,又φ(1)=0,φ(e)0,∴存在t1∈(1,e),使得φ(t)=0,当t∈(1,t1)时,φ(t)0,则φ(t)单调递减;当t∈(t1,+∞)时,φ(t)0,则φ(t)单调递增,又φ(1)-φ(e)=0,∴当t∈(1,e)时,φ(t)0,则h(t)0,