高考总复习二轮理科数学精品课件 专题3 立体几何 培优拓展4 巧设变量速求立体几何中的动态、最值问题.pptVIP

培优拓展?巧设变量速求立体几何中的动态、最值问题

立体几何中的“动态问题”是指空间中的某些点、线、面的位置是不确定的或可变的一类开放性问题,解决这类问题应该动静结合、化动为静,找到相应的几何关系,对于探究存在问题或动态范围(最值)问题,用定性分析比较难或繁时,可以引进参数,把动态问题化归为静态问题.具体地,可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证.

具体可以有以下几种解决方法:(1)函数法:某些点、线、面的运动,必然导致某些位置关系或一些变量的变化.变量变化时会引发其他变量的变化,从而建立函数关系,将立体几何问题转化为函数问题来解决.(2)等价转换法:动和静是相对的,在运动变化过程中,要善于寻找或构造与之相关的一些不变因素,将一些变化的点、线、面进行合理转换,实现变量与不变量的结合.(3)解析法:我们常利用空间直角坐标系解决立体几何问题,即实现几何问题代数化.因此利用空间坐标系将空间图形中的若干元素坐标化后,借助向量进行运算和分析是解决这类问题的常用方法.

例1(2022全国乙,理9)已知球O的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球O的球面上,则当该四棱锥的体积最大时,其高为()C

评析方法一:思维严谨,利用基本不等式求最值,模型熟悉,是该题的最优解.方法二:消元,实现变量统一,再利用基本不等式求最值.方法三:消元,实现变量统一,利用导数求最值,是最值问题的常用解法,操作简便,是通性通法.

例2如图所示,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2.动点P,Q分别在线段C1D,AC上,则线段PQ长度的最小值是()B

解析建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),C1(0,1,2),设点P的坐标为(0,λ,2λ),λ∈[0,1],点Q的坐标为(1-μ,μ,0),μ∈[0,1],评析该题涉及两个动点,所以需要引入两个变量,建立目标函数之后通过配方法可以直接判断并求出最值.

例3已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点M为BC的中点,点N为平面DCC1D1上的动点,若MN⊥A1C,则三棱锥N-AA1D的体积最大值为.

评析该题中“点N为平面DCC1D1上的动点”,虽然只涉及一个动点,但需要两个变量才能确定点的位置,在解题过程中首先建立目标函数,然后利用“MN⊥A1C”建立两个坐标参数之间的关系,确定两个参数最终的取值范围或代入目标函数进行消元,从而求得最值.

例4(2023全国模拟预测)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在球O的球面上,PA=BC=2,PB=AC=,PC=AB=,点Q为球O的球面上一动点,则点Q到平面PAB的最大距离为()B

评析此题的解题思路与解析几何中求圆上的点到直线距离的最值相同,即求圆心到直线的距离再加减圆的半径.

本课结束