向量法求夹角课件.pptVIP

1求直线和直线所成的角利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。设异面直线a、b的夹角为θAcosθ=|cos?|AB·CD?CAB,CD=||||AB·CDβ????θ=π－AB,CDθ=AB,CD或

[例1]正六棱柱ABCDEF—ABCDEF111111的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱的侧面对角线ED与BC所成的角是（B）11A.90°B.60°C.45°D.30°(2002年全国高考）连结FE、FD、BCE1D1A111解法一：∴四边形BFEC是平行四边形B111∴FE∥BC11∴∠FED是异面直线ED与BC所成的角或补角111∵底长为1，棱长为FAD=FE1BC∴△FDE为等边三角形∴∠FED=60°11

解法2：建立如图所示的直角坐标系。zF1A1C1BCB1DE11BC·DE∴cos?BC,DE?=11F11|BC||DE|A11故?,?yBCDEx=60°BC11∴ED与BC所成的角是60°11故应选B

一法向量：如果一个向量所在直线垂直于平面，则该向量是平面的一个法向量。二法向量的主要作用1证明线面平行取和直线平行的向量，验证该向量和法向量的点积是否为零。a设平面β的法向量为n,a是a的方向向量.aa·n=0a?βa∥β?β

例1.如图,正方体ABCD——ABCD1111中,E是的BB中点,1求证:BD∥平面ACE111D法一：证明：连BD交AC于O1111BA连OEOD=OB11?OE∥BDD11BE=BE1OBD?平面ACEA1111OE?平面ACE11?BD∥平面ACE111

证法二：如图所示建立直角坐标系,且设正方体的棱长为2,D(0,0,0),1B(2,2,2),A(2,0,0),C(0,2,0),E(2,2,1)11∴z=(2,2,2)DB1AE=(0,2,1)CE=(2,0,1)D11设平面AEC的法向量为nx,y,z=()A11BnAE·=2y+z=0∴1En=2x+z=0CE·D11令x=1时，z=－2，y=1AB∴n=(1,1,－2)11x∴n?DB⊥nDB·=0?DB∥平面AEC11DB?平面AEC111111

2证明面面垂直验证两个平面的法向量的点积是否为零。如图设n,n分别是平面α、β的法向量12当n·n时a⊥β=012αn1n2β

3、求直线和平面所成的角g设直线BA与平面β的夹角为θ，n为平面β的法向量,1An当n与向量BA的夹角为锐角gθ1CBβθ=当n与向量BA的夹角为钝角gAg2n2θ=θCBβ

例1如图所示,已知正四面体O—ABC，E、F分别是AB、OC的中点。(1)求OE与BF所成的角；（2）求BF与平面ABC所成的角。O分析:(1)设OA=aOB=bOC=cOE,BF?a求出OE,BF,然后可求cos?=OE·BFA|OE||BF|E(2)可过点O作OO’⊥平面ABC于点O’，若OO’与BF所成的角为θ，则BF与平面ABC所成的角为

解:(1)设正四面体O—ABC的棱长为1,OA=aOB=bOC=cc·a·c则a·b=b=(a+b)ac||=|b|=||=1OOEc－bBFaOE·BF=(a+)·(c－b)bA(a·c+c－a·b－|b|2)b·E

=OE·BFcos?OE,BF?|OE||BF|Oa∴OE与BF所成的角为AE

（2）求BF与平面ABC所成的角。(2)作OO’⊥平面ABC于点O’，设OO’与BF所成的角为θ,则BF与平面ABC所成的角为OOO’=OC+CO’=cCEa=(OE－OCc)A=c[(a+)－c]bE(a+)+bc

(++)|’|OO2abc2(+)|a||b|2+222+2+2a·bc·ba·c+|c|∴|OO’|aOO’·BFOO’,BFcos??=A|OO’||BF|CE(a+cb)·(－)+bc=

cos?’OO,BF?aACE∴求BF与平面ABC所成的角评析:利用向量讨论线面关系不需作辅助线，但需要正确设出空间向量的基底，再利用多面体的性质算出或找出其它的向量。

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