高中总复习二轮文科数学精品课件 第1部分 思想方法研析指导 一、函数与方程思想.ppt

一、函数与方程思想第一部分

内容索引0102思想方法?聚焦诠释高频考点?探究突破03预测演练?巩固提升

思想方法?聚焦诠释

高考命题聚焦高考把函数与方程的思想作为思想方法的重点来考查,特别是在函数、三角函数、数列、不等式、解析几何等处可能考到.高考使用客观题考查函数与方程思想的基本运算,而在主观题中,则从更深的层次,在知识网络的交汇处,从思想方法与相关能力相结合的角度进行深入考查.

思想方法诠释1.函数与方程思想的含义(1)函数思想实质是抛开所研究对象的非数学特征,用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系,是对函数概念的本质认识,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的思想方法.(2)方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的思想方法.

(3)方程思想与函数思想密切相关,方程f(x)=0的解就是函数y=f(x)的图象与x轴公共点的横坐标;函数y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通过方程进行研究;方程f(x)=a有解,当且仅当a属于函数f(x)的值域.函数与方程的这种相互转化关系十分重要.

2.函数与方程的思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化,对函数y=f(x),当y0时,可转化为不等式f(x)0,借助于函数的图象和性质可解决有关问题,而研究函数的性质也离不开不等式.(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数,用函数的观点去处理数列问题十分重要.(3)解析几何中的许多问题,需要通过解二元方程组才能解决.

高频考点?探究突破

命题热点一利用函数思想解决与方程有关的问题【思考】如何处理含参数的方程在给定区间上有解的参数的范围问题?例1已知关于x的方程cos2x-sinx+a=0在区间上有解,求实数a的取值范围.

将关于x的方程cos2x-sinx+a=0转化为t2+t-1-a=0.依题意,该方程在区间(0,1]上有解.题后反思本例题的解题思路有两种:一是可分离参数为a=-cos2x+sinx,转化为确定的相关函数的值域;二是将方程问题转化为函数问题,构造函数关系,利用零点存在性定理求解.

A

命题热点二函数与方程思想在不等式中的应用【思考】如何用函数与方程思想解决不等式恒成立问题?

题后反思根据题目条件构造函数关系,把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是常用的解题思路.

对点训练2已知函数f(x)=x-lnx-2.(1)若函数y=f(x)在区间(k,k+1)(k∈N)上有零点,求实数k的值;(2)若不等式f(x)对任意正实数x恒成立,求正整数m的取值集合.

解:(1)令f(x)=1-=0,得x=1.当0x1时,f(x)0,函数f(x)单调递减;当x1时,f(x)0,函数f(x)单调递增,∴f(x)的极小值为f(1)=-10,∴f(x)在区间(0,1)内存在一个零点x1,此时k=0.∵f(3)=3-ln3-2=1-ln30,f(4)=4-ln4-2=2-2ln2=2(1-ln2)0,∴f(x)在区间(3,4)内存在一个零点x2,此时k=3.综上,k的值为0或3.

(2)当x=1时,不等式为0f(1)=-1.显然恒成立,此时m∈R.由(1)可知,函数f(x)在区间(0,1)内单调递减,且存在一个零点x1,此时f(x1)=x1-lnx1-2=0,即lnx1=x1-2,当0xx1时,f(x)0,即g(x)0,函数g(x)单调递增;当x1x1时,f(x)0,即g(x)0,函数g(x)单调递减.∴当0x1时,g(x)有最大值,

由(1)可知,函数f(x)在区间(1,+∞)内单调递增,且存在一个零点x2,同理可得mx2.综上可知,x1mx2.又x1∈(0,1),x2∈(3,4),∴正整数m的取值集合为{1,2,3}.

命题热点三函数与方程思想在数列中的应用【思考】求等差(或等比)数列的通项及前n项和的最值的基本方法有哪些?例3已知等比数列{an}的公比为q,a1=,其前n项和为Sn,且S2,S4,S3成等差数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=Sn-,求bn的最大值与最小值.

整理得2q4=q2+q3.又因为q≠0,所以2q2=1+q,

题后反思应用方程的思想求等差(或等比)数列的通项时,根据题中的条件,列出关于首项和公差(或公比)的方程(组),通过解方程(组)求出数列的首项和公差(或公比),再根据等差(或等比)数列的通项公式写出an.求前n项和Sn的最大值时,依据函数的思想先表示出Sn,整理成关于n的函数,再求其最大值.

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