备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十六　直线和椭圆.docx

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五十六直线和椭圆

(时间:45分钟分值:90分)

【基础落实练】

1.(5分)(2024·合肥模拟)直线y=3x-1与椭圆x24+y2

A.0 B.1 C.2 D.无数个

【解析】选C.由y=3x-1x24+y28=1

所以直线y=3x-1与椭圆x24+y

2.(5分)(2024·银川模拟)若直线y=x+m与椭圆x24+y22=1相切,则实数

A.±6 B.±6 C.±3 D.±4

【解析】选B.将直线y=x+m与椭圆x24+y22=1联立,得y=x+mx24+y22=1?3x2+4mx+2

3.(5分)(2024·桂林模拟)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆于A,B两点,若M(1,-1),且OA+OB=2

A.x248+y232=1 B.

C.x224+y28=1 D.

【解析】选C.因为右焦点F(4,0),所以a2=b2+16,

设A(x1,y1),B(x2,y2),由OA+OB=2OM可知M是AB的中点,所以x1+x2=2,y1+y2=-2,

且x12a2+y12b2=1,

所以kAB=y1-y2x1-x2=-b2(x

所以a2=3b2=b2+16,所以b2=8,a2=24,

故椭圆E的方程为x224+y

4.(5分)(2023·新高考Ⅱ卷)已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m与C交于A,B两点,若△F1AB的面积是△F2AB的2倍,则m=(

A.23 B.23 C.-23 D

【解题指导】首先联立直线方程与椭圆方程,利用Δ0,求出m的范围,再根据三角形面积比得到关于m的方程,解出即可.

【解析】选C.将直线y=x+m与椭圆联立y=x+mx23+y2=1

因为直线与椭圆相交于A,B点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)0,解得-2m2,

设F1到AB的距离为d1,F2到AB的距离为d2,易知F1(-2,0),F2(2,0),

则d1=|-2+m|2,d2=|2+

解得m=-23或-32(舍去)

5.(5分)(多选题)已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,过Q(1,14)的直线与椭圆交于M,N

A.C的焦距为5

B.当Q为MN中点时,直线MN的斜率为-3

C.C的离心率为30

D.若∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为1

【解析】选CD.由题知a2=6,b2=1,

所以c2=6-1=5,故焦距为2c=25,故A选项错误;对于B选项,当Q为MN中点时,

设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x0,y0),

则x126+y12

即kMN=-23,故B选项错误;对于C选项,椭圆的离心率为e=ca=56

对于D选项,∠F1PF2=90°,

则PF1+

代入数据得PF1PF2=2,所以△F1PF2的面积为

6.(5分)(多选题)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为12.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,

A.a=132 B.b=3

C.直线DE的斜率为33 D.|DE

【解析】选ACD.如图所示:

因为椭圆C:x2a2+y2b2=1(

所以不妨设椭圆C:x24c2+y23c2=1,

因为C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,

所以△AF1F2为等边三角形,

因为过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,

所以kDE=tan30°=33.故C项正确

由等腰三角形的性质可得|AD|=|DF2|,

|AE|=|EF2|.

由椭圆的定义可得△ADE的周长为|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=26,

所以a=132,b=1343

对于D项,设lDE:y=33(x+13

联立x21694+y250716

则Δ=22+4×260,

由根与系数的关系得x1+x2=-2,x1·x2=-26,

所以|DE|=1+(33)?

7.(5分)(2024·南昌模拟)如果直线l:y=k(x+3)与椭圆C:x2a2+y2=1(a1)总有公共点,则实数a

【解析】直线l:y=k(x+3)过定点(-3,0),

因为直线l:y=k(x+3)与椭圆C:x2a2+y2=1(a

则有(-3)2a2+02

因为a1,所以a≥3.

答案:[3,+∞)

8.(5分)(2024·泉州模拟)设F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的左右焦点,过点F1的直线交椭圆E与A,B两点,|AF1|=3|AF2|,AF

【解析】由|AF1|=3|AF2|,得|AF1|+|AF2|=4|AF2|=2a,所以|AF2|=a2,|AF1|=3

因为AF2⊥