人教B版高中同步学案数学选择性必修第一册精品课件 第一章 1.2.4 二面角.ppt

;;内容索引;基础落实?必备知识全过关;知识点1二面角及其度量;过关自诊

1.如图,AB是圆的直径,PA⊥AC,PA⊥BC,C是圆上一点(不同于A,B),且PA=AC,则二面角P-BC-A的平面角为();2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1DA与平面BCDA所形成的平面角大小为.?;知识点2用空间向量求二面角的大小

(1)如果n1,n2分别是平面α1,α2的一个法向量,设α1与α2所成角的大小为θ,则有θ=n1,n2或θ=π-n1,n2,特别地,sinθ=.?

(2)设二面角α-l-β为θ,平面α,β的法向量分别为n1,n2,有

|cosθ|=|cosn1,n2|=成立.?;名师点睛

利用公式cosn1,n2=(n1,n2分别为两平面的法向量)进行求解,注意n1,n2与二面角大小的关系,是相等还是互补,需结合图形进行判断.

如图②④中n1,n2就是二面角α-l-β的平面角的补角;如图①③中n1,n2就是二面角α-l-β的平面角.;过关自诊

1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)

(1)二面角的大小就是该二面角两个半平面的法向量的夹角.()

(2)若二面角两个半平面的法向量的夹角为120°,则该二面角的大小等于60°或120°.();2.如图,在三棱锥B-ACD中,正三角形ACB与正三角形ACD所在平面互相垂直,则二面角B-CD-A的余弦值是();答案D;重难探究?能力素养全提升;;规律方法1.本题解法使用了三垂线定理来作出二面角的平面角后,再用解三角形的方法来求解.

2.二面角的求法;变式训练1

如图,已知二面角α-a-β等于120°,PA⊥α,A∈α,PB⊥β,B∈β,求∠APB的大小.;解设平面PAOB∩α=OA,平面PAOB∩β=OB.∵PA⊥α,a?α,∴PA⊥a.

同理PB⊥a,∴a⊥平面PAOB.

又OA?平面PAOB,∴a⊥OA.同理a⊥OB,

∴∠AOB是二面角α-a-β的平面角.

在四边形PAOB中,∠AOB=120°,

∠PAO=∠PBO=90°,所以∠APB=60°.;;(2)解因为四棱柱的所有棱长都相等,所以四边形ABCD为菱形,AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD,所以OB,OC,OO1两两垂直.

如图,以O为原点,OB,OC,OO1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系.

设棱长为2.因为∠CBA=60°,;规律方法利用向量方法求二面角的大小时,多采用求法向量的方法,即求出两个面的法向量,然后通过法向量的夹角来得到二面角的大小,但利用这种方法求解时,要注意结合图形观察???析,不能将两个法向量的夹角与二面角的大小完全等同起来.;变式探究

如果本例条件不变,求二面角B-A1C-D的余弦值.;变式训练2

如图所示,在几何体S-ABCD中,AD⊥平面SCD,BC⊥平面SCD,

AD=DC=2,BC=1,且SD=2,∠SDC=120°,求平面SAD与平面SAB所成角的余弦值.;解如图,过点D作DC的垂线交SC于E.以D为原点,以DC,DE,DA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.

∵∠SDC=120°,∴∠SDE=30°.又SD=2,∴点S到y轴的距离为1,到x轴;学以致用?随堂检测全达标;1.已知平面α内有一个以AB为直径的圆,PA⊥α,点C在圆周上(异于点A,B),点D,E分别是点A在PC,PB上的射影,则()

A.∠ADE是二面角A-PC-B的平面角

B.∠AED是二面角A-PB-C的平面角

C.∠DAE是二面角B-PA-C的平面角

D.∠ACB是二面角A-PC-B的平面角;答案C;3.如图所示,点A,B,C分别在空间直角坐标系Oxyz的三条坐标轴上,

=(0,0,2),平面ABC的一个法向量为n=(2,1,2).设二面角C-AB-O的大小为θ,则cosθ=.?;4.在底面为直角梯形的四棱锥S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD与平面SAB所成角的余弦值.;本课结束