常微分方程期末考试练习题及答案..doc

一，常微分方程的基本概念

常微分方程：

含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0(n≠0).

常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。

若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。

含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。

满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。

常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。

注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。

b.教材28页第八题不妨做做。

二.可分离变量的方程

A.变量分离方程

定义：形如=f（x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f（x），φ（x）分别是x，y的连续函数。

解法：分离变量法.（*）

说明：a由于（*）是建立在φ（y）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中）

b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。

例1.

解：由题意分离变量得：

即：

积分之，得：

故原方程通解为：（c为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。

*例2.若连续函数f（x）满足，则f（x）是？

解：对给定的积分方程两边关于x求导，得：

（变上限求积分求导）

分离变量，解之得：

由原方程知：f（0）=ln2，代入上解析式得：

C=ln2，

B.可化为分离变量方程的类型。

解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

解：令，则y=x，从而：，

代入原方程，得：，

整理得：，

分离变量得：，

两边积分之：，

变量回代，并整理得：

（c是任意常数）

C.线性微分方程和常数变易法

1.形式：形如的一阶方程称为一阶线性方

程.当时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的.

2.解法：利用常数变易法求解。

其解为：.下面用具体

的题目体现这一思想.

注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注

标准式（的系数为1），否则易出错.

例7求方程的通解.

解：首先求线性齐次方程的通解，

分离变量得：，两边同时积分，

得：，因而可设原方程的通解为：

，则，

将之入原方程，得：

，即：，

两边积分得：，而

=

=

=

=

从而：（这里没加常

数），从而通解为：.

D.伯努利方程及其解法

形式：形如（）的方程称为伯努利方程.

解法：在方程两边同时成乘以做代换，则伯努利方程转化为新的未知函数z的线性方程，从而可用C中方法解决之.

注意：n0时，方程还有解y=0.

例8.求方程的通解.

解：方程两边同乘，得：，

即：（2.12）

令，则，将之代入（2.12）

得：.（2.13）

,记（2.13）之通解为：，

于是：，将以上两式代入（2.13）