第6章-解线性方程组的迭代法.ppt

数值计算方法第6章解线性方程组的迭代法第6章解线性方程组的迭代法迭代法的基本概念雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法超松弛迭代法一阶定常迭代法的收敛性一阶定常迭代法的收敛性一阶定常迭代法的收敛性一阶定常迭代法的收敛性特殊方程组迭代法的收敛性特殊方程组迭代法的收敛性例：当a满足条件时，线性方程组雅克比迭代解一定收敛。**求解思路计算精度可控，特别适用于求解系数为大型稀疏矩阵/*sparsematrices*/的方程组。研究内容：?如何建立迭代格式？?收敛速度？?向量序列的收敛条件？?误差估计？将等价建立迭代。从初值出发，得到序列。改写为形式§6.2Jacobi法和Gauss-Seidel法/*JacobiGauss-SeidelIterativeMethods*/?JacobiIterativeMethod写成矩阵形式：A=-L-UDBJacobi迭代阵?Gauss-SeidelIterativeMethod…………写成矩阵形式：BGauss-Seidel迭代阵注：二种方法都存在收敛性问题。有例子表明：Gauss-Seidel法收敛时，Jacobi法可能不收敛；而Jacobi法收敛时，Gauss-Seidel法也可能不收敛。设解线性方程组的迭代格式两式相减因此迭代法收敛的充要条件可转变为定理：迭代格式收敛的充要条件为：即:B的谱半径定理5：迭代格式收敛的充要条件为：例：判别下列方程组用Jacobi迭代法和G-S法求解是否收敛。解:(1)求Jacobi法的迭代矩阵所以即Jaobi迭代法收敛。(2)求Gauss-Seidel法的迭代矩阵所以Gauss-Seidel迭代法发散。定理6（充分条件）若存在一个矩阵范数使得||B||=q1,则迭代收敛，且有下列误差估计：①②证明：①?②定义：如果矩阵A的元素满足则称A为严格对角占优矩阵。问题：该矩阵具有怎样的特点？结论：该矩阵是严格对角占优阵证:(1)对于Jacobi迭代法,其迭代矩阵为定理9(1)：若线性方程组AX=b的系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则解该方程组的Jacobi迭代法和G-S迭代法均收敛。Jacobi迭代法收敛(2)对于G—S迭代法,其迭代矩阵为由定理：谱半径小于任何一种算子范数即从而因此由于可得矛盾G—S迭代法收敛解：当线性方程组的系数矩阵为对角占优阵时，Jacobi迭代法收敛，所以|a|6。迭代法的加速无论是解线性方程组的Jacobi迭代法和G—S迭代法都涉及到收敛速度问题如何加快迭代法的速度呢？也涉及到初值的选取问题如何改善迭代法的适用范围呢？加速加速法主要思想§6.3松弛法/*RelaxationMethods*/换个角度看Gauss-Seidel方法：其中ri(k+1)=相当于在的基础上加个余项生成。下面令，希望通过选取合适的?来加速收敛，这就是松弛法/*RelaxationMethods*/。iikikikiarxx)1()()1(+++=w0?1低松弛法/*Under-Relaxationmethods*/?=1Gauss-Seidel法?1(渐次)超松弛法/*SuccessiveOver-Relaxationmethods*/由G-S迭代法的矩阵形式*