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第23讲繁分数

分子和分母中还含有分数或四则混合运算的分数叫做繁分数。繁分数的运算过程就是化

简的过程，要分别对分子和分母逐步进行计算，这需要扎实的基本功：概念清楚，运算迅速

正确，而且还需要探索和掌握一些灵活的解题方法，化“繁”为“简”。

例1计算

分析：象这样迭塔式繁分数是繁分数计算的基本类型，这样的题目处理的方式可以从最

下面的分母开始逐层进行计算，另外，在计算中可以利用倒数的概念直接将分子、分母根据

算出结果。

解答：原式=

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例2已知：，则a=（）

分析：这类题可以通过倒推的方法进行解答。将分母中的繁分数通过层层设为X，然后

根据法则进行解答。

解答：设=，解得1+=，=

又设=，解2+=，=

即：=，解a=

例3若1-=，那么四个（）中的数的和是多少？

分析：观察题目左右两边，左边可以计算出结果，然后连

续利用倒数关系逐个求出（）中的数。

解答：原式左边=

原式右边=

所以：四个（）中的数的和是：1+1+2+2=6

说明：繁分数计算中，经常运用倒数关系进行计算。

例4计算：

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分析：仔细观察，可以发现，分子和分母能够变成相同的一个算式。将分母1998×1999-1

可以变形为1997×1999+（1999-1）=1997×1999+1998，与分子的式子完全相同，可以通过

约分，算出最后的值。

解答：原式=

=1

说明：这道题表面看来数字非常大，计算很复杂，但通过观察不难发现可以将分子或分

母变形后，简便计算。看来，拿到一道计算题后，也要认真观察，仔细审题，运用技巧进行

计算。这样，使计算变得简单多了。

例5

分析：在这道题目中，分母都含有算式，我们不妨先将分母进行计算整理，看一看能不

能发现规律。然后考虑运用一些计算的法则、技巧算出结果。

解答：原式=

=

=2×（）

=2×（）

=2×（）

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=

说明：有些题目一开始虽然看不出能利用简便方法进行计算，我们可以先按照计算的顺

序进行计算整理，在计算过程中，随时发现可以简便计算时再进行简便计算。例如此题，开

始时完全按照计算的方法将分母进行计算整理，然后，根据分数与除法的关系，将此题转变

为分子是2的繁分数，再根据乘法分配率，将2提出，再将括号中进行整理后，得到结果。

例6计算：

分析：观察分子和分母，会发现它们有各自的规律可循。分母的数列排列的规律是从1

加到10再加回到1，计算时只要计算(1+2+…+10)×2再减10，分子的规律注意是两个和相

减，可以