常数变易法的实质以及为什么可以用常数变易法解微分方程.doc

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

同济版的实质就是变量代换u，然后变成可分离变量。求出u，然后回代。解出方程。

解微分方程的实质就是变量替换，然后化解为可分离变量。然后回代。

待定系数法

考虑以下的微分方程：

对应的齐次方程是：

它的通解是：

由于非齐次的部分是()，我们猜测特解的形式是：

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

因此，原微分方程的解是：

()

常数变易法

假设有以下的微分方程：

我们首先求出对应的齐次方程的通解，其中C1、C2是常数，y1、y2是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C1、C2换成x的未知函数u1、u2，也就是：

y=u1y1+u2y2。(1)

两边求导数，可得：

y=u1y1+u2y2+u1y1+u2y2。

我们把函数u1、u2加上一条限制：

u1y1+u2y2=0。(4)

于是：

y=u1y1+u2y2。(2)

两边再求导数，可得：

y=u1y1+u2y2+u1y1+u2y2。(3)

把(1)、(2)、(3)代入原微分方程中，可得：

u1y1+u2y2+u1y1+u2y2+pu1y1+pu2y2+qu1y1+qu2y2=f(x)。

整理，得：

u1y1+u2y2+(u1y1+pu1y1+qu1y1)+(u2y2+pu2y2+qu2y2)=f(x)。

由于y1和y2都是齐次方程的通解，因此(u1y1+pu1y1+qu1y1)和(u2y2+pu2y2+qu2y2)都变为零，故方程化为：

u1y1+u2y2=f(x)。(5)

(4)和(5)联立起来，便得到了一个u1和u2的方程组。解这个方程组，便可得到u1和u2的表达式；再积分，便可得到u1和u2的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

现在和都已求出，那么也迎刃而解：

==

………(7)(这里)

这个方法看上去增加了复杂度，实际上却把一个不能直接分离变量的微分方程化成了两个可以直接分离变量的微分方程。这个方法不是没有名字的，它叫“变量代换法”（挺大众的一名字），即用代换了。这时在你脑中不得不油然生出这么一种感觉：想了十一年想出来的法子，还真不是盖的。

2常数变易法

换个思路，求的微分方程（即）其实就是求

当时的齐次方程。所以，我们可以直接先把非齐次方程当作齐次方程来解。即解出的解来。得：

………(8)

注意这里的并非最终答案，从上一环节我们知道这其实是而已。而最终答案是，仅是其中一部分。因此这里的并不是我们要的y，因此还要继续。

把（8）式和上面提到的（7）式比较一下：

………(7)

………(8)

结论、

（7）式是最终的结论，（8）式是目前我们可以到达的地方。那我们偷下懒好了：把（8）式的那个换成，再把这个解出来，不就ok了么。所谓的“常数变易法”就是这么来的，即把常数硬生生地变成了。接下来的事情就简单多了，和前面是一个思路，把代换代入（1）式，由于是一个可以令那个分离不出变量的项被消掉的特解，因此即可知一定会解得。从中解出，再带回

便可得到最终答案。