湖南省长沙市2022_2023学年高二数学上学期期中试卷.docxVIP

Page12

湖南省长沙市2024-2025学年高二数学上学期期中试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共8页。时量120分钟。满分150分。

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1．在数列中,且,则（）

A． B． C． D．

2．在棱长为1的正方体中,（）

A．1 B． C． D．2

3．在平面直角坐标系中,以点(0,1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（）

A． B． C． D．

4．在等比数列中,,若成等差数列,则的公比为（）

A．5 B．4 C．3 D．2

5．若一个椭圆的长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（）

A． B． C． D．

6．已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为，体积为，则当取得最大值时，母线与圆锥底面所成角的正弦值为（）

A． B． C． D．

7．阿基米德是古希腊闻名的数学家、物理学家,他利用“靠近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的右焦点为，过作直线交椭圆于两点，若弦中点坐标为(2,-1)，则椭圆的面积为（）

A． B． C． D．

8．如图，在棱长为2的正四面体中，点分别为和的重心,为线段上一点，则（）

A．的最小值为2

B．若平面，则

C．若平面，则三棱锥外接球的表面积为

D．若为线段的中点，且，则

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)

9．已知直线，则（）

A．直线过定点(-2,-1)

B．当时,

C．当时,

D．当时,两直线之间的距离为1

10．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（）

A．

B．

C．(为常数)

D．

11.“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特别几何体的称谓.《九章算术·商功》:“斜解立方,得两堑堵,斜解堑堵,其一为阳马,其一为鳖臑.”一个长方体沿对角面斜解(图1),得到一模一样的两个堑堵(图2),再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解(图2),得一个四棱锥称为阳马(图3),一个三棱锥称为鳖臑(图4).

若长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项正确的是（）

A． B．

C． D．

12．已知是抛物线的焦点,是抛物线上的两点,为坐标原点，则（）

A．若，则的面积为

B．若，则

C．抛物线的准线方程为

D．若的中点在抛物线的准线上的投影为，则

第Ⅱ卷

三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13．椭圆与双曲线有公共点，则与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_____.

14．已知，若三向量共面，则实数_____.

15．在平面直角坐标系中,，若动点在直线上，圆过三点,则圆的面积最小值为_____.

16．已知数列满意,则数列的通项公式为_____,若数列的前项和为，则满意不等式的的最小值为_____.

四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)

如图，在棱长是2的正方体中,分别为的中点.

(1)求异面直线与所成角的大小;

(2)证明:平面.

18．(本小题满分12分)

已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等.

(1)求曲线的方程;

(2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程.

19．(本小题满分12分)

在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为.

(1)求边上的中线所在直线的方程;

(2)求的外接圆被直线截得的弦长.

20．(本小题满分12分)

已知各项均不为零的数列的前项和为，且满意.

(1)求数列的通项公式;

(2)设数列满意的前项和为，证明:.

21．(本小题满分12分)

如图，在四棱锥中，四边形是矩形,是正三角形，且平面平面为棱的中点,四棱锥的体积为.

(1)若为棱的中点,求证:平面;

(2)在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为?若存在,指出点的位置并给以证明;若不存在，请说明理由.

22．(本小题满分12分)

已知双曲线的离心率为为双曲线的右焦点，直线过与双曲线的右支交于两点，且当垂直于轴时,.

(1)求双曲线的方程;

(2)过点且垂直于的直线与双曲线交于两点，求的取值范围.

长郡中学2024年下学期高二期中考试

数学参考答案

题号

1

2

3

4

5