第09讲函数的基本性质(原卷版+解析).docxVIP

第09讲函数的基本性质

【学习目标】

1.借助函数图象，会有符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．

2.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义

【基础知识】

一、函数的单调性及其符号表达

1.函数单调性的概念

函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．

2.函数单调性的符号表达

一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I：

如果?x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增．

如果?x1，x2∈D，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减．

二、增函数、减函数

1.当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数(increasingfunction)．

2.当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasingfunction)．

3.如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

【解读】

1.单调性是函数的局部性质，但在其单调区间上是整体性质，因此对x1，x2有下列要求：

(1)属于同一个区间D；

(2)任意性，即x1，x2是定义域中某一区间D上的任意两个值，不能用特殊值代替；

(3)有大小，即确定的任意两值x1，x2必须区分大小，一般令x1x2.

2.并非所有的函数都具有单调性．如f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x是偶数，,0，x是奇数，))它的定义域为N，但不具有单调性．

3.这个区间可以是整个定义域．如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递增，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上单调递减；这个区间也可以是定义域的真子集．如y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

4.函数在某个区间上单调递增(减)，但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减)．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，但是在整个定义域上不具有单调性．

5.一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”或“，”连接．如函数y＝eq\f(1,x)(x≠0)在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都单调递减，不能认为y＝eq\f(1,x)(x≠0)的单调递减区间为(－∞，0)∪(0，＋∞)．

三、定义法证明单调性的步骤

判断函数的单调性常用定义法和图象法，而证明函数的单调性则应严格按照单调性的定义操作．

利用定义法判断函数的单调性的步骤为：

注意：对单调递增的判断，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，也可以用一个不等式来替代：

四、函数的最大值

1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①?x∈I，都有f(x)≤M；

②?x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．

2.几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象eq\o(□,\s\up4(03))最高点的纵坐标．

五、函数的最小值

1.定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：

①?x∈I，都有f(x)≥M；

②?x0∈I，使得f(x0)＝M.

那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．

几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象eq\o(□,\s\up4(03))最低点的纵坐标．

六、偶函数、奇函数

1.偶函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction)．

2.奇函数的定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数(oddfunction)．

3.偶函数、奇函数的图象特征

（1）如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．

（2）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．

【解读】

1.奇偶性是函数的整体性质(对照单调性是函数的局部性质，以加深理解)．

2.定义域不关于原点对称的函数，既不是奇函数，也不是偶函数．

3.对于奇函数f(x)，若f(0)有意义，则f(0)＝0；对于偶函数f(x)，必有f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

【考点剖析】

考点一：证明或判断函数单调性

例