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高数大一函数的极限知识点

一、极限的定义

在数学中，极限是指函数在某一点上逼近特定值的过程。对于

大一学生来说，了解极限的定义对于后续的数学学习至关重要。

根据极限的定义，给定一个函数和一个点，当该函数的自变量无

限接近这个点时，函数值趋近于某个确定的值，这个确定的值就

是函数在该点的极限。

二、常用的极限运算法则

在计算函数极限时，我们可以使用一些常用的运算法则，这些

法则可以简化计算过程，提高效率。

1.基本极限法则：

常数函数的极限：若-k为常数，则lim(f(x))=k(x--a)

恒等函数的极限：-lim(x)=a(x--a)

幂函数的极限：-lim(x^n)=a^n(x--a)，其中n为正整数

指数函数的极限：-lim(a^x)=a^a(x--a)，其中a为正实数

2.四则运算法则：

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和差的极限：-lim(f(x)±g(x))=lim(f(x))±lim(g(x))(x--a)

积的极限：-lim(f(x)g(x))=lim(f(x))·lim(g(x))(x--a)

商的极限：-lim(f(x)/g(x))=lim(f(x))/lim(g(x))(x--a)，其中

g(x)≠0

3.复合函数的极限法则：

复合函数的极限：-lim(f(g(x)))=lim(f(u))(u--lim(g(x)))

三、函数的一致性

对于大一函数的极限，函数的一致性也是需要注意的重要概念。

一致性是指当自变量趋于某个特定值时，函数的极限是唯一确定

的。具体来说，对于一个函数f(x)，当x趋于a时，如果极限值是

L，在邻域内的所有点都有f(x)趋于L，那么函数f(x)在点a处是

连续的。

四、无穷极限

除了有限极限之外，函数还可能存在无穷极限。无穷极限包括

正无穷大、负无穷大以及无穷小。当函数在某一点的极限是正无

穷大时，我们可以表示为lim(f(x))=+∞(x--a)；当极限是负无穷

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大时，我们可以表示为lim(f(x))=-∞(x--a)；当极限是无穷小时，

我们可以表示为lim(f(x))=0(x--a)。

五、高阶极限

在高数中，我们还会遇到高阶极限，这需要使用到洛必达法则

来求解。洛必达法则是一种通过对函数及其导数的比值进行极限

运算的方法。具体地说，对于两个函数f(x)和g(x)，若

lim(f(x))/lim(g(x))的极限存在或为无穷大或为零，且g(x)≠0(x--

a)，则lim(f(x))/lim(g(x))=lim(f(x))/lim(g(x))(x--a)。

六、应用举例

掌握了极限知识点后，我们可以通过一些应用举例来加深对极

限的理解。

例1：计算极限lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)

解：由于函数在极限点处存在0/0的形式，我们可以利用分子

因式分解的方法化简：

lim(x→2)(x^2-4)/(x-2)=lim(x→2)[(x+2)(x-2)]/(x-2)=