计算方法-第三章曲线拟合的最小二乘法20191103.ppt

*第三章曲线拟合的最小二乘法*于是，最佳平方逼近的平方误差为如果(3.6)则称(3.6)为f(x)的在[a,b]上的最佳平方逼近n次多项式。n较大时，法方程组出现病态（Hilbert矩阵）,可取基函数为正交基函数（如三角函数）*第三章曲线拟合的最小二乘法**求连续函数最佳平方逼近的步骤*1.给定[a,b]上的连续函数f(x),及子空间2.利用内积给出法方程组*第三章曲线拟合的最小二乘法*3.求出法方程组的解c0*,c1*,…,cn*,得到最佳平方逼近4.求出平方误差称为均方误差*第三章曲线拟合的最小二乘法*例3.6求在上的最佳平方逼近一次多项式，并估计误差。直接套用公式：解：设令基函数为则需要求解的方程组为：*第三章曲线拟合的最小二乘法*这时由得到于是得到法方程组*第三章曲线拟合的最小二乘法*解之得最佳平方逼近一次多项式为关于误差，由误差估计式*第三章曲线拟合的最小二乘法*得到*第三章曲线拟合的最小二乘法*例3.7求f(x)=arctanx在[0,1]上的最佳平方逼近二次多项式，并估计误差。解：设P2(x)=c0+c1x+c2x2，则需要写出法方程组这时*第三章曲线拟合的最小二乘法**第三章曲线拟合的最小二乘法*法方程组为解得：且*第三章曲线拟合的最小二乘法*本节(§6)小结1.何为连续函数最佳平方逼近多项式？如何计算连续函数的最佳平方逼近n次多项式？3.如何估计最佳平方逼近n次多项式的误差？4.练习：试求函数f(x)=1/x在区间[1,3]上的最佳平方逼近一次多项式并估计误差。*第三章曲线拟合的最小二乘法*第三章小结一、最佳逼近问题连续函数空间:X=C[a,b]子函数空间:Φ∈X两种度量标准:||f||2及||f||∞二、连续函数的最佳平方逼近1.三要素*第三章曲线拟合的最小二乘法*2.最佳平方逼近及法方程组3.平方误差估计式*第三章曲线拟合的最小二乘法*三、数据拟合的最小二乘法1、最小二乘法拟合曲线的步骤2、法方程组的写出3、平方误差*第三章曲线拟合的最小二乘法*练习三3-1求a,b，使达到极小。3-2给出数据表使分别作出线性、二次曲线拟合，并给出最佳平方误差。xi-1.00-0.500.000.250.751.00yi0.2200.8002.0002.5003.8004.200*第三章曲线拟合的最小二乘法*3-3用最小乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式，使与下列数据拟合，并计算均方误差。xi1925313344yi19.032.249.073.397.83-4对下列数据求形如y=aebx的拟合曲线3-5用最小二乘法解方程组xi12345yi16.427.244.573.5120.4*第三章曲线拟合的最小二乘法*123456787654321*******Oxy*xy******第三章曲线拟合的最小二乘法*§3用正交多项式作最小二乘法**例3.4利用最小二乘法解下列超定（矛盾）方程组解:超定方程组很难得到一组值使得每一个方程都成立。一般情况下用尽量使每一个方程都近似成立的一组值作为超定方程的近似解。这时最小二乘法就可以用于解这类方程。采用最小二乘法，考虑如下的误差函数：独立方程数多于变量数§4矛盾方程组的最小二乘法*第三章曲线拟合的最小二乘法*所求的最小二乘解应该满足*第三章曲线拟合的最小二乘法*同理可得：令偏导数等于零*第三章曲线拟合的最小二乘法*法方程组为：解此方程组得最小二乘解：x1=-0.3141x2=0.1333x3=0.0269*第三章曲线拟合的最小二乘法*关于法方程组的获得，可以用更简便的方法，先将方程组用矩阵表示