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江苏省南京市二十九中学2023-2024学年高三下学期期初考试数学试题
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题
1.二次函数的图像为抛物线,其准线方程为(????)
A. B. C. D.
2.某学校高二年级选择“物化生”,“物化地”和“史地政”组合的同学人数分别为240,90和120.现采用分层抽样的方法选出30位同学进行项调查研究,则“史地政”组合中选出的同学人数为(????)
A.8 B.12 C.16 D.6
3.(????)
A. B. C. D.
4.若表示两条不重合的直线,表示三个不重合的平面,下列命题正确的是(????)
A.若,且,则
B.若相交且都在外,,则
C.若,则
D.若,则
5.已知是椭圆C的两个焦点,P为C上一点,且,则C的离心率为(?????)
A. B. C. D.
6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二(除以3余2),五五数之剩三(除以5余3),七七数之剩二(除以7余2),问物几何?现有这样一个相关的问题:已知正整数满足五五数之剩三,将符合条件的所有正整数按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前项和为,则的最小值为(????)
A.23 B. C. D.33
7.已知对恒成立,且越接近于1,它们的值也越接近.如,取时,有,计算可得:.则的近似值为(????)(附:,,)
A.1.60 B.1.61 C.1.62 D.1.63
8.设的三个顶点为复平面上的三点,,,满足,,,则内心的复数坐标的虚部所在区间是(????).
A. B. C. D.前三个选项都不对
二、多选题
9.下列说法正确的是(????)
A.“为第一象限角”是“为第一象限角或第三象限角”的充分不必要条件
B.“,”是“”的充要条件
C.设,,则“”是“”的充分不必要条件
D.“”是“”的必要不充分条件
10.已知数列满足,,则(????)
A.数列为等比数列 B.
C., D.
11.已知正方体的棱长为为空间中任一点,则下列结论中正确的是(????)
A.若为线段上任一点,则与所成角的范围为
B.若在正方形内部,且,则点轨迹的长度为
C.若为正方形的中心,则三棱锥外接球的体积为
D.若三棱锥的体积为恒成立,点的轨迹为椭圆或部分椭圆
三、填空题
12.已知展开式中第3项和第5项的二项式系数相等,则,且展开式中的常数项为.
13.某公司在2016-2021年的销售额(万元)如下表,根据表中数据用最小二乘法得到的回归方程为.
2016
2017
2018
2019
2020
2021
则当关于的表达式取最小值时,.
14.一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一车站没有旅客下车就不停车,设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并各位旅客是否下车相互独立.以表示停车次数,则.(已知随机变量服从两点分布,且,,则)
四、解答题
15.已知圆,,为上的动点,线段的垂直平分线交直线于点.
(1)求点的轨迹方程;
(2)设直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,点不在轴上,若,求点的坐标.
16.如图,在三棱柱中,为的中点,为等边三角形,直线与平面所成角大小为.
(1)求证:平面;
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
17.已知函数,.
(1)讨论的单调区间;
(2)当时,函数的图象于函数的图象有公切线,求实数的最小值.
18.在中,,为的中点,.
(1)若,求的长;
(2)若,求的长.
19.定义1:通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族(collection).
定义2:集合上的一个拓扑(topology)乃是的子集为元素的一个族,它满足以下条件:(1)和在中;(2)的任意子集的元素的并在中;(3)的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族,族,判断族与族是否为集合的拓扑;
(2)设有限集为全集
(i)证明:;
(ii)族为集合上的一个拓扑,证明:由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
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参考答案:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
C
B
B
A
AC
ABD
题号
11
答案
ABD
1.C
【分析】将,化为抛物线的标准
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