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学越辅导—五年级数学思维训练

容斥问题

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在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种

新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对

象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏

又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。关于这类的问题就称为容斥问题。由于容斥原理

用公式解答容斥问题涉及到集合，学生较难理解，故本节主要教学生画文氏图来解答相关问

题，生动形象，容易理解又富趣味性。

精典例题

例1：五年甲班参加无线电小组和航模小组的共26人，其中参加无线电小组的有17人，

参加航模小组的有14人，两组都参加的有多少人？。

思路点拨

根据题目，画个圆圈写上无，整圈代表了甲班参加无线电小组的人数。同样的，画个圆圈

写上航，代表了甲班参加航模小组的人数。两个圆圈重叠部分代表了两组都参加的人数。把17

人和14人相加得31人，怎么人数比原来参加的总数26人还多出了5个人？原来那5个人就是

重叠部分被重复计算了的人数，也就是两组都参加的有5人。

模仿练习

50名同学参加兴趣小组，参加科技组的有40人，参加数奥数组的有28人，两个兴趣小组

都参加的有几人？

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例2：五年级的课外小组分为美术、音乐、手工三个小组，参加美术小组有20人，参加

音乐小组有24人，参加手工小组有31人，同时参加美术和音乐两个小组有5人，同时参加音

乐和手工两个小组有6人，同时参加美术和手工两个小组的有7人，三个小组都参加的有3人，

这个年级参加课外小组的同学共有多少人？

思路点拨

同样把已知条件画图来表示，图中的5、6、7人都是两两重叠的部分，图中的3人是三个重

叠的部分，要从三个组的总人数中减去重复多余的部分。（人）

模仿练习

五年乙班有学生46人，其中会骑自行车的有19人，会游泳的有25人，既会骑车又会游泳

的有7人，既不会骑自行车又不会游泳的有多少人？

例3：1到200中，能同时被3跟5整除的数共有多少个？

思路点拨

此题要先求出1到200中被3整除的有几个，被5整除的有几个，再画文氏图求解。

模仿练习

在1至200的自然数中，不能被2整除的数或不能被3整除或不能被5整除的数共有多少

个？

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例4：有25人参加跳远达标赛，每人跳三次，每人至少有一次达到优秀。第一次达到优

秀的有10人，第二次达到优秀的有13人，第三次达到优秀的有15人，三次都达到优秀的只有

1人。只有两次达到优秀的有多少人？

思路点拨

“每人至少有一次达到优秀”说明没有三次都没达到优秀的。要求只有两次达到优秀的人数，就是求重

叠两层的部分（图中阴影部分）。（人）

模仿练习

在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，

6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的没有，只要汽水和

雪碧的有1人；三样都要的有1人。问：共有几个小朋友去了冷饮店？

例5：某校五年级甲班有49人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30人参加，

英语有20人参加，语文小组有10人。老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，

既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有1人，

求既参加英语又参加数学小组的人数。

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