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清华笔记：计算共形几何讲义（4.5）相对同调Mayer-Vietoris序列--第1页
清华笔记：计算共形几何讲义（4.5）相对同调Mayer-
Vietoris序列
在拓扑中，有很多貌似非常直观的定理，其证明却非常艰难，例
如平面上的若当曲线定理（JordanCurveTheorem）：给定平面上的
一条封闭连续曲线，平面被分成两个联通分支，即曲线的内部和外部。
进一步，Schonflies定理证明每个联通分支都是拓扑圆盘。
清华笔记：计算共形几何讲义（4.5）相对同调Mayer-Vietoris序列--第1页
清华笔记：计算共形几何讲义（4.5）相对同调Mayer-Vietoris序列--第2页
图1.Jordan曲线定理。
但是，这一定理向高维推广却是非常反直觉的。我们考虑拓扑中
常见的“亚历山大角球”（AlexanderHornedSphere）的反例。如
图2所示，我们从一个标准球面开始，中间有一条赤道曲线，如左上
帧所示；然后将其变形成钩子形状，定义两个帽状区域，帽子边缘线
如右上帧所示；我们固定钩子的中段，将帽状区域变形成两个相互缠
绕的次级钩子，每个次级钩子上我们标出了“赤道”和“帽子边缘
线”，如左下帧所示；我们再固定次级钩子的中间区域，变形次级钩
子的帽状区域，来生成第三级钩子，如图右下帧所示。如此迭代，以
致无穷。第n步构造的角球记为。
图2.Alexander角球的构造过程。
Alexander角球和标准球面彼此拓扑同胚，如图3所示，每个圆
清华笔记：计算共形几何讲义（4.5）相对同调Mayer-Vietoris序列--第2页
清华笔记：计算共形几何讲义（4.5）相对同调Mayer-Vietoris序列--第3页
盘映到相应的帽状区域，不同的颜色代表不同级别的帽状区域。第n
步，我们可以构造同胚映射
，第n1步的时候我们只改变第n级的帽状区域的映射。然后令n
趋向无穷，我们得到Alexander角球和标准球面之间的同胚。
图3.标准球面到Alexander角球的同胚映射。
图4.Alexander角球在中的嵌入。（byCliffPickover）
清华笔记：计算共形几何讲义（4.5）相对同调Mayer-Vietoris序列--第3页
清华笔记：计算共形几何讲义（4.5）相对同调Mayer-Vietoris序列--第4页
如图4所示，Alexander角球嵌入在三维欧氏空间中，那么
是否被分成两个道路联通分支？每个分支是否是单联通的？是否同胚
于三维拓扑圆盘？这些问题不再那么显而易见。应用Jordan-Brouwer
Seperation定理，我们可以证明Alexander角球将分成两个联通分
支。但是每个分支不是单联通的，（所有钩子上的赤道曲线彼此不同
伦）。这里我们看到人类的生活直觉让位给严密的拓扑理论。
那么，这种异常抽象的拓扑知识有什么实际用处？在我们后继的
课程中，我们会介绍离散曲面Ricci流的理论和算法，Ricci流解的存
在性证明依赖于所谓的区域不变性定理（InvarianceofDomain），
而这个定理的证明依赖于Jordan-Brouwer分离定理。所用的工具就
是相对同调论中的Mayer-Vieto
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