新高考数学二轮复习强化练习专题15 几何体与球切、接、截的问题（练）（解析版）.docVIP

第一篇热点、难点突破篇

专题15几何体与球切、接、截的问题（练）

【对点演练】

一、单选题

1．（2022秋·湖南张家界·高三慈利县第一中学校考阶段练习）如下图是一个正八面体，其每一个面都是正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（?????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10

C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】A

【分析】由棱锥与球的体积公式求解，

【详解】由题意得正方形SKIPIF10的中心SKIPIF10即为外接球球心，设SKIPIF10，则SKIPIF10，

球SKIPIF10的体积为SKIPIF10，

而SKIPIF10，故正八面体的体积SKIPIF10，

得SKIPIF10，

故选：A

2．（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯是第22届世界杯足球赛，比赛于2022年11月21日至12月18日在卡塔尔境内7座城市中的12座球场举行．已知某足球的表面上有四个点A、B、C、P满足PA＝BC＝5，，，则该足球的表面积为（????）

A． B． C． D．SKIPIF10

【答案】D

【分析】把四面体外接球问题扩展到长方体中，求出长方体外接球半径为R，进而求出结果．

【详解】因为PA＝BC，SKIPIF10，SKIPIF10，所以可以把A，B，C，P四点放到长方体的四个顶点上，将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示：

则该足球的表面积为四面体A-BCP外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，

设长方体棱长为a，b，c，则有SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，

设长方体外接球半径为R，则有SKIPIF10，解得SKIPIF10，

所以外接球的表面积为：SKIPIF10.

故选：D．

3．（2022秋·广东·高三校联考阶段练习）《九章算术·商功》中描述很多特殊几何体，例如“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即如图，一个长方体，沿对角面分开（图1），得到两个一模一样的堑堵（图2），将其中一个堑堵，沿平面分开（图2），得到一个四棱锥称为阳马（图3），和一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若鳖臑的体积为4，且，则阳马的外接球的表面积为（????）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合长方体的性质，由鳖臑（即三棱锥）的体积求得SKIPIF10，进而求得长方体体对角线SKIPIF10，即所求外接球直径，即可求外接球表面积.

【详解】由切割过程可知，SKIPIF10平面SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10，

∴SKIPIF10，∴SKIPIF10.

SKIPIF10为长方体体对角线，即为SKIPIF10的外接球直径，SKIPIF10，

∴阳马SKIPIF10的外接球的表面积为SKIPIF10.

故选：B

4.（2023·广西梧州·统考一模）在三棱锥SKIPIF10中，已知SKIPIF10平面SKIPIF10，SKIPIF10，SKIPIF10.若三棱锥SKIPIF10的各顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（????）

A．SKIPIF10 B．SKIPIF10 C．SKIPIF10 D．SKIPIF10

【答案】D

【分析】利用正弦定理求出底面SKIPIF10的外接圆半径，将三棱锥