2024年一级安全评价师条件概率全概率公式与贝叶斯公式.docx

?条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

一、背景

一种随机事件的概率,确切地說,是指在某些給定的条件下,事件发生的也許性大小的度量.但假如給定的条件发生变化之后,该事件的概率一般也随之变化.于是,人們自然提出:假如增長某个条件之后,事件的概率会怎样变化的?它与本来的概率之间有什么关系?显然此类現象是常有的.

[例1]?设有一群共人,其中个女性,个是色盲患者.?个色盲患者中女性占个.?假如={从中任选一种是色盲},?={从中任选一种是女性},此時,?.假如对选用规则附加条件:只在女性中任选一位,换一句话說,发生之后,发生的概率(暂且记為)?自然是.

[例2]?将一枚硬币抛掷,观测其出現正背面的状况.设事件為“两次掷出同一面”,事件為“至少有一次為正面H”.目前来求已知事件已经发生的条件下事件发生的概率.

这里,样本空间.易知此属于古典概型问題.已知事件已发生,有了这一信息,懂得不也許发生,既知试验所有也許成果所成的集合就是.中共有3个元素,其中只有属于.于是,在发生的条件下,发生的概率為

对于例1,已知

轻易验证在发生的条件下,发生的概率

对于例2,已知

轻易验证发生的条件下,发生的概率

对一般古典概型,?轻易验证:只要,则在发生的条件下,?发生的概率,

总是成立的.

在几何概率场所,假如向平面上单位正方形内等也許任投一点,则当发生的条件下,?这時发生的概率為

由此可知对上述的两个等也許性的概率模型,总有成立.

其实,还可以验证,?这个关系式对频率也是成立的.于是,从这些共性中得到启发,引入下面的一般定义.

二、条件概率

若是一种概率空间,,若,则对于任意的,称

為已知事件发生的条件下,?事件发生的条件概率.

[例3]?一盒子中装有4只产品,其中有3只是一等品,1只是二等品.从中取产品两次,每次任取一只,作不放回抽样,设事件為“第二次取到的是一等品”,事件為“第一次取到的是一等品”,试求条件概率

解:易知此属古典概型问題.将产品编号：1,2,3号為一等品,4号為二等品.以表达第一次、第二次分别取到第号、第号产品.试验E(取产品两次,记录其号码)的样本空间為

={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}

={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}

={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}

由条件概率公式得,

[例4]?一种家庭中有两个小孩,已知其中有一种是女孩,问这時另一种小孩也是女孩的概率?(假定一种小孩是女孩还是男孩是等也許的)

解:据題意样本空间為

={(男,女),(男,男),(女,女),(女,男)}

={已知有一种是女孩}={(男,女),(女,女),(女,男)}

={另一种小孩也是女孩}={(女,女)}

于是,所求概率為

三、条件概率的性质

(1)非负性:对任意的

(2)规范性:?

(3)可列可加性:若為一列两两不相交的事件,有

证明:(1)?由于因此

(2)由于,因此

(3)由于两两不相交,因此也必然两两不相交,因此

四、乘法公式

由条件概率的定义知:?设,则.于是,

这就是概率的乘法公式.

假如,同样有

设且则

证明?由于,依条件概率的定义,上式的右边

五、乘法公式的应用例子

[例5]设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下時打破的概率為1/2,若第一次落下時未打破,?第二次落下時打破的概率為7/10,?若前两次時未打破,?第三次落下時打破的概率為9/10,试求透镜落下三次而未打破的概率.

解:以表达事件“透镜第次落下時打破”,以表达事件“透镜三次落下而未打破”.?由于,故有

[例6]设袋中装有只紅球,只白球.每次自袋中任取一只球,观测其颜色后放回,并再放入只与所取出的那个球同色的球.若在袋中持续取球四次,试求第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率.

解:以表达事件“第次取到紅球”,分别表达事件第三、四次取到白球.所求概率為

[例7](卜里耶模型)罐中有只黑球,只紅球,随机地取一只之后,把原球放回,并加进与抽出的球同色之球只,再摸第二次,这样下去共摸次.问前次出現黑球,背面次出現紅球概率是多少?

解:以表达事件“第k次取到黑球”,?表达事件“第次取到紅球”,则

由一般乘法公式,

?

1.?在例7中,最终答案与黑球和紅球出現的次数有关,而与出現的次序无关.

2.卜里耶模型被卜里耶