初中数学抽象函数的性质及其应用6种常考题型归类及答案解析.docxVIP

重难点02抽象函数的性质及其应用6种常考题型归类

求抽象函数值

1．（2020秋?西城区校级期末）已知函数f(x)的定义域是(0,??)，满足f（2）?1且对于定义域

内任意x，y都有f(xy)?f(x)?f(y)成立，那么f（2）?f（4）的值为(

A．1B．2C．3D．4

)

2．（2010秋?西城区校级期中）函数y?f(x)的定义域为(0,??)，且对于定义域内的任意x，y都

2

有f(x?y)?f(x)?f(y)，且f（2）?1，则f()的值为(

)

2

1

2

1

2

A．

B．?

C．2

D．?2

x

3．（2022?北京自主招生）对于x?R，f(x)满足f(x)?f(1?x)?1，f(x)?2f()，且对于0?x?x?1，

1

2

5

1

恒有f(x)?f(x)，则f(

)?

．

1

2

2022

4．（2022秋?西城区校级期中）已知对于任意两个实数x，y，都有f(x?y)?f(x)?f(y)成立．若

f（3）?3，则f（6）?

；f(?10)?

．

5．（2022秋?西城区校级期中）函数f(x)的定义域为D，若对于任意x，x?D，当x?x时都

1

2

1

2

有f(x)?f(x)，则称函数f(x)在D上为非减函数，设f(x)在[0，1]上为非减函数，且满足以下三

1

2

x

1

1

1

个条件：①f(0)?0；②f()?f(x)；③f(1?x)?1?f(x)，则f()?f()等于(

)

3

2

3

8

1

2

2

3

3

4

A．

B．

C．1

D．

6．（2022秋?西城区校级月考）已知函数f(x)的定义域为R，且f(x?y)?f(x?y)?f(x)f(y)，f

22

?

（1）?1，则

A．?3

f(k)?(

)

k?1

B．?2

C．0

D．1

7．（2022秋?西城区校级期中）已知函数y?f(x)，对任意x?N，满足f(x?1)?f(x)?2，若f(l)?3，

则f（3）?

．

抽象函数的奇偶性问题

8．（2019秋?东城区校级期中）已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x，y，恒有

2

f(x)?f(y)?f(x?y)，且当x?0时，f(x)?0，f(1)??

．

3

（1）求f(0)的值；

（2）求证：f(x)为奇函数；

（3）求f(x)在[?3，6]上的最大值与最小值．

9．（2021秋?西城区校级月考）定义域为R的单调函数f(x)满足f(x?y)?f(x)?f(y)(x，y?R)，

且f（3）?6，

（1）求f(0)，f（1）；

（2）判断函数f(x)的奇偶性，并证明；

1

（3）若对于任意x?[,3]都有f(kx

2

)?f(2x?1)?0成立，求实数k的取值范围．

2

10．（2022秋?丰台区期中）已知函数f(x)是R上的减函数．对任意a，b?R，总有f(a?b)?f（a）

?f（b），且f(?1)?1．

（Ⅰ）求f(0)，f（2）；

（Ⅱ）证明：f(x)是奇函数；

（Ⅲ）若实数t满足：f(t?1)?f(t)?0，求t的取值范围．

11．（2021秋?东城区期末）已知定义在R上的函数f(x)满足：

①对任意实数x，y，都有f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y)；②对任意x?[0，1)，f(x)?0．

（Ⅰ）求f(0)；

（Ⅱ）判断并证明函数f(x)的奇偶性；

（Ⅲ）若f（1）?0，直接写出f(x)的所有零点（不需要证明）．

12．（2022秋?朝阳区校级期中）已知f(x)是定义在(??，0)?(0，??)上的函数，满足下列两

个条件：

①当x?0时，f(x)?0恒成立；

②对任意的x，y?(??，0)?(0，??)，都有f(x)f(y)?f(xy)?f()．

y

x

（1）求