第六章-定积分.ppt

第六章定积分第八节广义积分前言定积分的定义：约束条件（1）积分区间有限；（2）被积函数有界无穷区间上的积分和无界函数的积分称为广义积分常义积分一、无穷限的广义积分定义1(p260)极限存在广义积分收敛§6.8广义积分极限不存在广义积分发散例1、计算广义积分解：另解：广义积分也可以用N-L公式，不过上限计算的是极限值例2、计算广义积分练习：定义2(p260)注：右端的两个广义积分都收敛时，左边的广义积分收敛。例如：说明：为方便，广义积分可表示为（极限存在）例3、求广义积分解：例4、解：广义积分的几何意义：几何意义：开口曲边梯形的面积二、无界函数的广义积分定义3(p262)此时的广义积分被称为瑕积分，无界间断点称为瑕点。说明：几何意义：开口曲边梯形的面积瑕点瑕积分例4、解：注意广义积分与定积分不同，尤其是瑕积分，它与定积分采用同一种表达方式，但其含义却不同，遇到有限区间上的积分时，要仔细检查是否有瑕点。广义积分中，N-L公式，换元积分公式、分部积分公式仍然成立，不过代入上、下限时代入的是极限值。思考题积分的瑕点是哪几点？积分可能的瑕点是不是瑕点,的瑕点是*选讲内容*求面积即求该和式的极限，许多量的计算有相同的形式。由此引入定积分的概念*性质用几何意义给予说明，不给出证明*曲边梯形的低在y轴上*小结：注意：换元的同时要换上下限§6.6定积分的分部积分法定积分的分部积分公式上下限代入反、对、幂、指、三例1求解单个函数，没有基本积分公式可用例2求解小结：一、积分上限函数二、微积分基本公式三、定积分的运算解：证明：证明：求解复习练一练1、计算下列定积分2、计算下列定积分3、计算下列定积分解：第六章定积分第七节定积分的应用一、平面图形面积§6.7定积分的应用选择y为积分变量注意被积函数解：解方程组4、求面积的方法及步骤根据题意画出示意图选择积分变量将面积表示为定积分计算定积分的值例2、解：解方程组二、定积分在经济中的应用1、求经济量已知变化率或边际求经济量解：解：2、求经济函数解：(下略)解：小结定积分的应用求平面图形面积求经济量求经济函数㈠㈡㈢三、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台所围成的平面图形绕y轴旋转而成的旋转体体积为2、由连续曲线例4、解：观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．83观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．93观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．103观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．113观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．123观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．133观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．143第六章定积分第四节微积分基本定理下限上限积分和定积分是特殊和式的极限前言积分学两大问题：求原函数：计算面积：微积分基本定理牛顿－莱不尼兹公式求定积分的工具一、积分上限函数称为积分上限函数§6.4微积分基本定理微积分基本定理推论证明例1证返回例1、求解：例2、求解：例3、求解：例4求[分析]：这是型不定式，应用洛必达法则.解定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.定理2（原函数存在定理）二、牛顿－莱不尼兹公式定理3（微积分基本公式）（1）N-L公式揭示了积分学两类基本问题——不定积分与定积分两者之间的内在联系（2）求定积分问题转化为求原函数的问题.注证明例5令令证返回例5、求定积分解：例6、求定积分解：例7、求定积分解：例8、求定积分解：解：1.积分上限函数2.积分上限函数的导数3.微积分基本公式牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．称之为微积分基本公式。注意使用公式的条件（1）被积函数f(x)连续（2）F(x)是f