人教A版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第8章 立体几何初步 学习单元4 8.4.1 平面.pptVIP

;我们经历了从对空间几何体的整体观察到认识空间图形的过程,包括认识空间几何体的结构特征,会画它们的直观图,计算它们的表面积和体积等.本学习单元,将在认识几何体的结构的基础上,研究平面及其基本性质,并以长方体为载体,直观认识和描述空间中点、直线、平面的位置关系,以发展直观想象素养.

本单元的研究内容:平面的三个基本事实,空间点、直线、平面的位置关系(直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系).这是学习本单元的知识明线,具体内容结构如下图所示.;本学习单元的最终目标是掌握平面的基本事实及其推论,理解空间直线、平面的位置关系,学会三种语言(图形语言、文字语言、符号语言)以及它们之间的相互转化.在此单元的学习过程中,加强由实际模型到图形,再由图形到实际模型的基本训练,逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力并从中发展数学抽象、逻辑推理、直观想象的核心素养.;学习目标;基础落实·必备知识全过关;;知识点一:平面;记法;微思考

思考下列说法是否正确,并说明理由.

(1)平面的形状是平行四边形;

(2)任何一个平面图形都是一个平面;

(3)在两个平面相交的画法中,一个平面被另一个平面遮住时,被遮部分的线段应画成虚线或不画;

(4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面.;提示(1)不正确.平面常用平行四边形表示,但不是平行四边形,平面是无限延展的.

(2)不正确.平面图形与平面是两个不同的概念,平面图形具有大小、面积等属性,而平面则没有,平面是无限延展的,不可度量的.

(3)正确.符合直观图画法的规则.

(4)正确.三角形、圆、平行四边形都是平面图形,都可以表示平面.;知识点二:点、直线、平面之间的位置关系;微思考

为何点在平面上用“∈”,而直线在平面上用“?”?;知识点三:平面的基本性质

1.平面的基本性质:;基本

事实;2.三个推论:;微思考

1.如何理解基本事实1中的“有且只有一个”?;;问题1点、直线和平面都是最基本的几何概念.类比直线的无限延伸,空间中平面是无限延展的,如何理解平面的“平”与“无限延展”?

问题2如果直线l与平面α有一个公共点P,直线l是否在平面α内?如果直线l与平面α有两个公共点呢?;;证明(方法一纳入平面法)∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面α.

∵l2∩l3=B,∴B∈l2.

又l2?α,∴B∈α.

同理可证C∈α.

∵B∈l3,C∈l3,∴l3?α.

∴直线l1,l2,l3在同一平面内.

(方法二辅助平面法)∵l1∩l2=A,∴l1,l2确定一个平面α,

∵l2∩l3=B,∴l2,l3确定一个平面β.

∵A∈l2,l2?α,∴A∈α.

∵A∈l2,l2?β,∴A∈β.同理可证B∈α,B∈β,C∈α,C∈β.

∴不共线的三个点A,B,C既在平面α内,又在平面β内.

∴平面α和β重合,即直线l1,l2,l3在同一平面内.;延伸探究如果把本例中的“不过同一点”删掉,那么这三条直线是否共面?;规律方法证明点、线共面问题常用方法

(1)先由部分点、线确定一个面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入平面法”;

(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“辅助平面法”;

(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,用“反证法”.

注意:当遇到文字叙述的结论时,一定要先根据题意画出图形,结合图形写出已知与求证,再证明.;;证明(方法一)∵AB∩α=P,∴P∈AB,P∈平面α.

又AB?平面ABC,∴P∈平面ABC.

∴由基本事实3可知点P在平面ABC与平面α的交线上,

同理可证Q,R也在平面ABC与平面α的交线上,

∴P,Q,R三点共线.

(方法二)∵AP∩AR=A,

∴直线AP与直线AR确定平面APR.

又AB∩α=P,AC∩α=R,∴平面APR∩平面α=PR.

∵B∈平面APR,C∈平面APR,∴BC?平面APR.

∵Q∈BC,∴Q∈平面APR.

又Q∈α,∴Q∈PR,∴P,Q,R三点共线.;规律方法点共线:证明多点共线通常利用基本事实3,即两相交平面交线的唯一性,通过证明点分别在两个平面内,证明点在相交平面的交线上;也可先选择其中两点确定一条直线,再证明其他点也在该直线上.;;证明∵α∩γ=b,β∩γ=a,∴a?γ,b?γ.

∵直线a和b不平行,∴a,b必相交.

如图所示,设a∩b=P,则P∈a,P∈b.

∵a?β,b?α,∴P∈β,P∈α.

又α∩β=c,∴P∈c,即交线c经过点P.

∴a,b,c三条直线必过同一点.;规律方法证明三线共点常用的方法是先说明两条直线共面且相交于一点,再说明这个点在以另一条直线为交线的两个平面内,即该点在另一条直线上,则可得三线共点.;;1;1;1;1;1;