高一数学函数的应用.docVIP

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高一数学人教A版2019必修第一册

4.5函数的应用(二)

【考点梳理】

考点一：函数的零点

对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

方程、函数、图象之间的关系：

方程f(x)＝0有实数解?函数y＝f(x)有零点?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点．

知识点二：函数零点存在定理

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．

重难点技巧：用二分法求方程的近似解

考点三：二分法

对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解．

考点四：用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤

1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)0.

2．求区间(a，b)的中点c.

3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：

(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；

(2)若f(a)·f(c)0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；

(3)若f(c)·f(b)0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.

4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤(2)～(4)．

以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．

重难点技巧：函数模型的应用

考点五：函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

反比例函数模型

f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)

二次函数模型

f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)

指数型函数模型

f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

对数型函数模型

f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)

幂函数型模型

f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)

考点六：应用函数模型解决问题的基本过程

1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型；

2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型；

3．求模——求解数学模型，得出数学模型；

4．还原——将数学结论还原为实际问题．

【题型归纳】

题型一：函数零点存在定理

1．（2021·福建厦门市·厦门外国语学校高一月考）下列区间中，包含函数的零点的是（）

A． B． C． D．

2．（2020·福建莆田市·莆田二中高一期末）已知实数，满足，则函数的零点所在区间是()

A． B． C． D．

3．（2021·长沙市明德中学高一开学考试）函数的零点所在的大致区间为（）.

A． B． C． D．与

题型二：函数的零点分布问题（参数）

4．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）已知函数，若方程有4个解时，实数a的取值范围为（）

A． B．

C． D．

5．（2021·江西高安中学高一月考）已知，函数，若函数图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是（）

A． B． C． D．

6．（2020·南京市第十三中学高一月考）已知，若关于x的方程有三个不同的实数解，则实数t的取值范围是（）

A．(－1，1] B．[－3，2) C．(－1，2) D．(－3，1)

题型三：用二分法求函数f(x)零点近似值

7．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（）

A． B． C． D．

8．（2020·淮北市树人高级中学）若的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，数据如下表：

那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（）

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

9．（2021·定远县育才学校高一期中（理））设函数，用二分法求方程近似解的过程中，计算得到，，则方程的近似解落在区间（）

A． B．

C． D．

题型四：函数与方程的综合问题

10．（2020·江西省兴国县第三中学高一月考）函数，若f（a）＝f（b）＝f（c）且a，b，c互不相等，则abc的取值范围是（）

A．（1，10） B．（10，12） C．（5，6） D．（20，24）

11．（2021·湖南高一期末）已知函