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成考（专升本）高数（二）收敛与发散的判定

CONTENT目?录收敛与发散概念介绍01数列的收敛与发散判定方法02函数的收敛与发散判定方法03

01收敛与发散概念介绍

数列收敛是指当项数趋于无穷大时，数列项趋近于某个固定的数

一个数列收敛的充分条件是它的任意子数列都收敛于同一个数

数列收敛的必要条件是它的极限存在数列的收敛01函数在某点收敛是指当自变量趋近于某点时，函数值趋近于某个确定的值

函数收敛的点是它的定义域内的点，或者是定义域的极限点

函数在一点的收敛性可以通过极限定义来判定函数的收敛03数列发散是指当项数趋于无穷大时，数列项不趋近于任何固定的数

数列可能无限增大、无限减小或震荡，无法趋向一个确定的值

发散数列的子数列可能收敛，但收敛的值不唯一或全部发散数列的发散02函数在某点发散是指当自变量趋近于某点时，函数值不趋近于任何确定的值

函数可能在该点趋向无穷大或不存在极限

函数的发散点可能是函数定义域的边界点或间断点函数的发散04收敛与发散的定义

收敛函数的连续性：连续函数在定义域内收敛

收敛函数的保号性：如果函数在某点收敛于正数，那么存在一个邻域，该邻域内函数值都是正数

收敛函数的四则运算：两个收敛函数的和、差、积、商（除数不为零）也收敛收敛函数的基本性质发散数列的无界性：某些发散数列是无界的

发散数列的不保号性：发散数列的项可以任意正负

发散数列的四则运算：发散数列的运算结果不一定确定，可能收敛也可能发散发散函数的基本性质发散函数的不连续性：发散函数可能在某些点不连续

发散函数的不保号性：发散函数的值可以任意正负

发散函数的四则运算：发散函数的运算结果可能不确定，可能收敛也可能发散收敛数列的基本性质发散数列的基本性质收敛数列的有界性：每个收敛数列都是有界的

收敛数列的保号性：如果数列收敛于正数，那么存在一个项数，之后的所有项都是正数

收敛数列的四则运算：两个收敛数列的对应项和、差、积、商（除数不为零）也收敛收敛与发散的性质

条件收敛与绝对收敛条件收敛是指数列的项乘以绝对值后不收敛，但原数列收敛

绝对收敛是指数列的项乘以绝对值后收敛，因此原数列也收敛

条件收敛和绝对收敛的数列极限值相同发散的类型与特点发散到无穷大：数列或函数的值无限增大或减小

振荡发散：数列或函数的值在正负之间震荡且不趋近于任何值

无界发散：数列或函数的值无界，没有一个确定的界限收敛的充分必要条件数列收敛的充分必要条件是其任一子数列都收敛于相同的极限

函数在某点收敛的充分必要条件是左极限和右极限都存在且相等

收敛的充分必要条件通常涉及数列或函数的性质和运算收敛与发散的相互转化收敛数列乘以一个非零常数后仍然收敛

发散数列乘以一个常数后可能变为收敛或保持发散

收敛和发散的数列通过特定运算可能相互转化收敛与发散的分类

02数列的收敛与发散判定方法界准则如果数列有上界，则存在上确界

如果数列有下界，则存在下确界

收敛数列的极限即为确界单调有界定理单调递增且有上界的数列收敛

单调递减且有下界的数列收敛

收敛数列的极限是其单调性的界限子数列判定法如果数列的任一子数列都收敛于同一极限，则原数列收敛

如果存在发散的子数列，则原数列发散

子数列的极限可以用来证明原数列的收敛性夹逼准则如果两个收敛数列夹逼一个数列，则该数列收敛

夹逼的极限是两个数列极限的交集

需要证明两个数列的极限相等基本判定方法

等比数列的通项公式为?an?=?a1?*?q^(n-?1)

当公比q的绝对值小于1时，数列收敛

当公比q的绝对值大于等于1时，数列发散等比数列的收敛性02幂级数形式为?Σ(a_n?*?x^n)

根据比值法则，收敛半径R?=?1?/?lim?sup?(|a_n|)

对于收敛半径内的x值，幂级数收敛幂级数的收敛性03等差数列的通项公式为?an?=?a1?+?(n-?1)d

当公差d为0时，数列收敛于首项a1

当公差d不为0时，数列发散等差数列的收敛性01指数函数数列形式为?an?=?e^(nx)

当x为负数时，数列收敛于0

当x为正数时，数列发散指数函数数列的收敛性02特殊数列的收敛性

发散数列的极限形式发散数列的极限不存在或趋向无穷

发散数列可能趋向正无穷或负无穷

发散数列可能振荡不收敛无界数列的判定无界数列的项无限增大或减小

无界数列的项不满足有界性

无界数列的任意子数列也是无界的发散数列的子数列性质发散数列至少有一个子数列发散

发散数列的子数列可能收敛到不同值

发散数列的子数列可能具有不同的发散性质010203发散数列的运算性质发散数列与收敛数列的和可能发散

发散数列与发散数列的和可能发散

发散数列的乘积或商也可能发散04发散数列的特征

03函数的收敛与发散判定方法

函数极限的定义函数极限描述当自变量趋向某一值时函数值的趋势

极限值是函数值趋向的目标值，可以