三章矩阵初等变换线代课件.pptxVIP

1第三章矩阵的初等变换

与线性方程组矩阵的初等变换初等矩阵矩阵的秩线性方程组的解

2§1矩阵的初等变换引例:求解线性方程组一、矩阵的初等变换解用消元法上页下页返回

3由最后一个方程可得：将其代入第二个方程可得：将上面两结果代入第一个方程可得：在上述的解题过程中，是将方程组看作一个整体,且只对方程组的系数和常数进行了运算,即是对方程组的增广矩阵进行变换,且变换是可逆的,所以方程组是同解的．上页下页返回

4定义1:设A是m×n矩阵，下面三种变换称为矩阵的初等行变换:(1)对调两行,称为对调行变换.(对调i,j两行，记作(2)用非零常数k乘矩阵的某一行的所有元素.称为倍乘行变换.(用k乘第i行，记作kri)上页下页返回将矩阵的某一行所有元素k倍加到另一行对应（第j行的k倍加到第i行上，记为ri+krj）元素上,称为倍加行变换.

5把定义中的行换成列,即得矩阵的初等列变换的注:1．矩阵的初等行(列)变换，统称为初等变换.2．三种初等变换都是可逆的，其逆变换也是同类型的初等变换.定义.(所用记号是把r换成c).上页下页返回的逆变换为的逆变换为的逆变换为

6二、矩阵等价定义2:若矩阵A经过有限次初等行变换成矩阵B，矩阵A与B列等价，记作上页下页返回则称矩阵A与B行等价，记作若矩阵A经过有限次初等列变换成矩阵B，则称若矩阵A经过有限次初等变换成矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作

7等价关系的性质:引例中的增广矩阵B通过初等变换化为等价矩阵Ｂ1上页下页返回

8行阶梯形矩阵:(1)零行(即元素全为零的行)全部位于非零行的(2)各非零行的左起首位非零元素的列序数由上至下严格递增.上页下页返回下方;

9行最简形矩阵:特点：非零行的第一个非零元为1,且非零元所在列的其它元素都为零.上页下页返回

10定理1:任意矩阵都与形如的矩阵等价.定义:矩阵称为矩阵A的标准形.特点：矩阵F的左上角为一个r阶单位阵1,其余元素全为零.上页下页返回

11例1:求矩阵A的标准形.解:上页下页返回

12上页下页返回

13=B上页下页返回

14§2初等矩阵把初等变换施于矩阵上，就将矩阵作了变形，这种变形可以通过两个矩阵相乘来表示.一、初等矩阵的定义和性质定义3:由单位阵E经过一次初等变换得到的方阵,称为初等矩阵.三种初等变换对应着三种初等矩阵.上页下页返回

15(1)对调两行或两列，得初等对换矩阵.将单位阵中第i,j两行对调上页下页返回

16(2)以数乘某行或某列，得初等倍乘矩阵.以数k乘单位阵的第i行上页下页返回

17(3)以数乘某行(列)加到另一行(列)上，得初等倍加矩阵.以数k乘E的第j行加到第i行上上页下页返回

18初等矩阵的性质:初等矩阵是可逆的，且其逆矩阵仍为初等矩阵.分别是:上页下页返回

19定理2:对矩阵Am×n作一次初等行(列)变换得到的矩阵，等于用一个m(n)阶初等阵左(右)乘矩阵A.证:用m阶初等方阵E(i,j)左乘矩阵A=(aij)m×n,得上页下页返回

20其结果相当于对A进行第一种初等行变换:第i行与第j行对换.同理可验证:用初等倍乘阵或初等倍加阵左(右)乘A相当于对A进行相应的初等行(列)变换.上页下页返回同理可验证:用初等方阵E(i,j)右乘A相当于对A进行第一种初等列变换：第i列与第j列交换.

21定理3:方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等证:由Ａ及Pi可逆,得F也可逆．上页下页返回使充分性:设因为故存在,所以于是存在.必要性:设方阵A可逆,且A的标准形为F=因为所以矩阵

22上页下页返回推论1:n阶可逆阵A必等价于单位阵En.证:设中的rn,则有|F|=0,与F可逆矛盾，故必有所以F＝E.从而因为故此式即为

23推论2:m×n矩阵A与B等价的充要条件是，存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q,使PAQ=B.证:即A经过有限次初等变换可变成B，由定理2知，存在若干个m阶初等阵和n阶初等阵使得令即上页下页返回

24二、用初等变换求逆阵推论4:如果对可逆矩阵A和同阶单位矩阵E作同样的初等行变换,那么当A变成单位矩阵E时,E就变成当A可逆时,A-1可表示成有限个初等矩阵的乘积,或证:即，上页下页返回

25例2:求矩阵逆阵A－1.解:上页下页返回

26上页下页返回

27例3:解:方法1:先求出，再计算.方法2:直接求.上页下页返回

28求逆时