空间几何体的表面积与体积专项练习题.doc

空间几何体的外表积与体积专项练习题

A组

1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是〔〕.

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

2．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，那么截去与8个顶点相关的8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是〔〕.

〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕

3．一个直棱柱〔侧棱垂直于底面的棱柱〕的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，那么这个直棱柱的全面积是。

4．两个母线长相等的圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，那么它们的高之比为。

5．三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，那么此棱锥的体积_______________。

6．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时,所形成的几何体的体积之比为。

7．球面上有三点，其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的EQ\f(1,6)，经过这三点的小圆周长为4π，那么这个球的外表积为。

B组

1．四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，那么四面体EFGH的外表积与四面体ABCD的外表积的比值是。

2．半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，那么该正方体的外表积是。

3．如图，一个棱锥S－BCD的侧面积是Q，在高SO上取一点A，使SA=SO，过点A作平行于底面的截面得一棱台，求这个棱台的侧面积.

4．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，边长AB=a，且PD=a，PA=PC=a，假设在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径.

〔编写：人大附中吴其明〕

练习七参考答案

A组1．答案：A

解：设展开图的正方形边长为a，圆柱的底面半径为r，那么2πr=a，，底面圆的面积是，于是全面积与侧面积的比是，选A.

2．答案：D

解：正方体的体积为1，过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体截得的三棱锥的体积是，于是8个三棱锥的体积是，剩余局部的体积是，选D.

3．答案：148cm2

解：底面菱形中，对角线长分别是6cm和8cm，所以底面边长是5cm，

侧面面积是4×5×5=100cm2，两个底面面积是48cm2，

所以棱柱的全面积是148cm2.

4．答案：2：

解：设圆柱的母线长为l，因为两个圆锥的侧面展开图恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：2，所以它们的展开图即扇形的圆心角分别是和，

由圆锥侧面展开图扇形的圆心角的计算公式，得，，

所以它们的高的比是.

5．答案：1cm3

解：转换一个角度来认识这个三棱锥，即把它的两条侧棱(如长度为1cm，2cm的两条)确定的侧面看作底面，另一条侧棱作为高，那么此三棱锥的底面面积是1，高为3，

那么它的体积是×1×3=1cm3.

6．答案：

解：矩形绕a边旋转，所得几何体的体积是V1=πb2a，矩形绕b边旋转，所得几何体的体积是V2=πa2b，所以两个几何体的体积的比是.

7．答案：48π

解：小圆周长为4π，所以小圆的半径为2，又这三点A、B、C之间距离相等，

所以每两点间的距离是AB=BC=AC=2，

又A、B之间的大圆劣弧长等于大圆周长的，所以A、B在大圆中的圆心角是60°，

所以大圆的半径R=2，于是球的外表积是4πR2=48π.

B组1．答案：1：9

解：如图，不难看出四面体EFGH与四面体ABCD是相似的。所以关键是求出它们的相似比，

连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，

由于F、G分别是三角形的重心，所以M、N分别是BC、CD的中点，且AF：AM=AG：AN=2：3，

所以FG：MN=2：3，又MN：BD=1：2，

所以FG：BD=1：3，即两个四面体的相似比是1：3，

所以两个四面体的外表积的比是1：9.

2．答案：

解：如图，过正方体的对角面AC1作正方体和半球的截面。

那么OC1=R，CC1=a，OC=a，

所以，得a2=R2，

所以正方体的外表积是6a2=4R2.

3．解：棱锥S－BCD的截面为B’C’D’，过S作SF⊥B’C’，垂足为F，延长SF交BC于点E，连结AF和OE，

∵平面BCD//平面B’C’D’，平面B’C’D’∩平面SOE=AF，平面BCD∩平面SOE=OE，

∴AF//OE，于是，即，同理可得，

∴，，，

∴S棱锥S－B’C’D’=Q，∴S棱台侧=Q.

4．解：设放入的球的半径为R，球心为S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大，

连结SA、SB、SC、SD、SP，那么把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面.由体积关系，得

又VP－ABCD=S正方形ABCD·PD=a3