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1上页下页返回§4对换定义1:将一个排列中的任意两个元素对调,其余的定理1:一个排列中的任意两个元素对换,排列改证:先证相邻对换的情形设排列对换a与b,排列变为元素不动,叫做对换.将相邻两个元素对调,叫做相邻对换.变奇偶性.即对某排列每经过一个对换,就改变一次排列的奇偶性.

2上页下页返回不改变，而a,b两元素的逆数改变为:当ab时,b的逆序数不变,而a的逆序数增加1.当ab时,a的逆序数不变,而b的逆序数减少1;所以排列与排列的奇偶性不同.再证一般对换情形:设排列为作m次相邻对换,经上述对换这些元素的逆序数变成

3上页下页返回再作m+1次相邻对换，变成经过了2m+1次相邻对换，所以这两个排列的奇偶性相反.推论:奇排列调成标准排列的对换次数为奇数;偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.由定理1，可得到行列式定义的另一种表示法.定理2:n阶行列式也可定义为其中为行标排列j1j2···jn的逆序数.

4§5行列式的性质定义:记行列式称为行列式D的转置行列式.上页下页返回

5性质1:行列式与它的转置行列式相等.证:记的转置行列式即（i，j=1，2，…，n),由定理2，证毕.上页下页返回按定义

6由性质1知，行列式中的行与列具有同等地注:性质2:互换行列式的两行(列)，行列式变号.证：设行列式交换s、m两行，得上页下页返回位，对行成立的性质，对列也成立，反之亦然.

7由定义：其中1…s…m…n为自然排列,的逆序数，上页下页返回

8设排列的逆序数为则证毕.记法:行列式的第i行:行列式的第j列：交换i、j两行:交换i、j两列：上页下页返回

9推论1:如果行列式有两行(列)相同，则行列式为0.证:互换相同的两行，由性质2，性质3:(记作)上页下页返回用数k乘行列式的某一行(列)中所有元素,等于用数k乘此行列式.

10推论:性质4:若行列式有两行(列)的对应元素成比例，推论:行列式中如果一行(列)的所有元素全为0,则行列式为0.则行列式等于0.性质5:上页下页返回行列式中某一行（列）的公因子k可以提到行列式符号外面.

11＋注:行列式的加法:等于行列式某一行(列)的对应元素相加，其余各行(列)不动.性质6:行列式的某一行(列)的所有元素乘以同行列式的值不变.一数k后再加到另一行(列)对应的元素上去，(记作)上页下页返回

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13高阶(三阶以上)行列式计算思路:利用性质将其化为三角行列式.例1:计算解:上页下页返回

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15例2:计算解:上页下页返回

16例3:计算解:上页下页返回

17注:1.做题的一般方法是先把第1行第1列的元素变为1,再利用性质化出较多的0元素,最后化为三角行列式计算.2.行列式的性质是计算、化简行列式的重要依据,必须熟记这些性质.且在每一步变换中，搞清楚变动哪几行(列)保留哪一行(列)不变.上页下页返回