积分概念复变.pptx

第三章复变函数的积分

§3.1复积分的概念一、复积分的定义二、积分存在的条件及其计算法三、积分的性质

一、复积分的定义1.有向曲线:设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.如图所示：如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,一般:曲线C的正方向总是指从起点到终点的方向.那么终点到起点的方向就是曲线C的负向,记为C-

闭曲线方向的定义:逆时针方向为正方向,单连通区域的边界线C的正向沿逆时针方向；顺时针方向为负方向，对区域的边界线C而言,C的正向是指当曲线上的点P沿此方向前进时,C所围区域始终在P点的左方。多连通区域的外边界线C的正向沿逆时针方向；内边界线C1的正向沿顺时针方向；

2.复积分的定义:(

关于定义的说明:

二、积分存在的条件及其计算方法1.存在的条件2.积分表示式——从形式上来看

3.积分的计算方法

在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.

例1解(1)积分路径的参数方程为y=x

(2)积分路径的参数方程为y=x

y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为

这两个积分都与积分路径C无关,只与积分路径的起点和终点有关例1说明积分与积分路径无关．y=x格林公式：

都有例1说明积分与积分路径无关．y=x解析复变函数的定积分与积分路径无关，只与积分路径的起点和终点有关，与实变函数的定积分类似。

例2解(1)积分路径的参数方程为y=x

(2)积分路径的参数方程为y=x

y=x(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为1到1+i直线段的参数方程为此例说明积分与路线有关．注：

例3解：C的参数方程为

重要结论：积分值与积分路径：即圆的中心和半径无关.课堂练习：用观察法计算下列积分

三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.估值不等式

小结与思考本课学习了复积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分计算的一般方法.思考题

即为一元实函数的定积分.思考题答案

作业：P493.23.1

作业：P463.23.1

性质(4)的证明[证毕]

例4解根据估值不等式知