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2025高考数学一轮复习-37.3-空间的距离-专项训练
一、基本技能练
1.PABCDABCBAD90°BC2ADPABPAD
如图，四棱锥－中，∠＝∠＝，＝，△和△
都是边长为2的等边三角形.
(1)PBCD
证明：⊥；
(2)求点A到平面PCD的距离.
2.如图，在三棱锥P－ABC中，BC⊥平面PAC，AD⊥BP，AB＝2，BC＝1，PD
3BD3.
＝＝
(1)PAAC
求证：⊥；
(2)求平面PAC与平面ACD夹角的余弦值.
5
3.在三棱锥A－BCD中，已知CB＝CD＝，BD＝2，O为BD的中点，AO⊥平
BCDAO2EAC.
面，＝，为的中点
(1)求直线AB与DE所成角的余弦值；
1
(2)若点F在BC上，满足BF＝BC，设平面FDE与平面DEC夹角的大小为θ，
4
求sinθ的值.
二、创新拓展练
4.如图，三棱柱ABC－ABC中，侧面BCCB为矩形，若平面BCCB⊥平面
1111111
ABBA，平面BCCB⊥平面ABC.
11111
(1)ABBB
求证：⊥；
1
(2)ABCABCαACBCCBβ
记平面1与平面111的夹角为，直线1与平面11所成的角为，
异面直线AC与BC所成的角为φ，当α，β满足：cosα·cosβ＝m(0m1，m为常
1
数)时，求sinφ的值.
参考答案与解析
一、基本技能练
1.(1)证明取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形.
过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.
OAOBODOE.
连接，，，
由△PAB和△PAD都是等边三角形知
PAPBPD
＝＝，
所以OA＝OB＝OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，
OEBDPBOE.
故⊥，从而⊥
因为O是BD的中点，E是BC的中点，
OECD.PBCD.
所以∥因此⊥
(2)解取PD的中点F，连接OF，
则OF∥PB.
由(1)知，PB⊥CD，故OF⊥CD.
1
ODBD2
又＝＝，
2
22
PDOD2
OP＝－＝，
PODOFPD.
故△为等腰三角形，因此⊥
又PD∩CD＝D，PD，CD⊂平面PCD，
OFPCD.
所以⊥平面
AECDCD⊂PCDAEPCDAEPCD.
因为∥，平面，⊄平面，所以∥平面
1
因此O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离，而OF＝PB＝1，所
2
以A
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