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三角函数在几何上的应用——圆和椭圆

我们在前面几个板块里都是介绍三角函数在代数和分析方面上的

应用，事实上其在几何方面上的应用也是较为广泛的，在某些情况下

利用三角函数来解决几何问题有意想不到的效果。我们知道，在笛卡

尔未引入解析几何之前，人们研究几何问题的方法通常是纯粹的几何

化方法。但是当解析几何进入几何学之后，我们便可以使用“坐标”

体系来研究几何学问题。这在某种角度上，是一种思维上的飞跃。特

别是，当我们把三角函数引入到几何学里，那么很多问题就可以得到

了简化。

Figure1:数学家笛卡尔

一.圆的参数方程

我们知道圆的基本定义是在一个平面内，一动点以一定点为中心，

以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线，其一般的方程为

其中为圆的圆心，为圆的半径长。在处理一些问题时，我们一般

设出圆的一般方程就可以得到解决。但是，往往有些问题使用一般方

程较为复杂，这时我们需要去寻求有无可能将圆的方程形式转变一下。

我们知道圆的一般方程是在直角坐标系下建立起来的，因此我们为了

转变方程形式，有必要对坐标系进行转变，这时是引入极坐标系的时

候了。

在极坐标下，我们仅仅用两个变量来描述一个点，即极径和极角。

并且，我们考虑了直角坐标系与极坐标系之间的坐标转化关系，得出

如下结果:

在这样的情况下，平面直角坐标系上的单位圆在极坐标系下方程

为

这是因为，在平面直角坐标系下单位圆的方程为。所以有

那么我们考虑一般的圆方程时，也可以如法炮制，先令

所以圆的参数方程为

实际上,在数学分析里,求积分区域为圆形的二重积分问题中,极坐标

代换方法显得十分有力。

二.椭圆的参数方程

与圆相类比，椭圆也是平面几何图形中较为重要的几何对象。我

们知道椭圆是圆锥曲线的一种，是通过平面与圆锥相截而得到的。关

于椭圆的基本定义，我们在此不再详述，仅仅只考虑椭圆的标准方程。

有关于椭圆的标准方程，一般有两种，取决于焦点在哪一个坐标轴，

为了能够说明问题，我们在此以焦点在轴为例，对于另一种情况读者

也可以自己尝试探究。

当焦点在轴上时，椭圆的标准方程为

与之前探究方式一致，椭圆的标准方程也是建立在笛卡尔的平面

直角坐标系下的。因此要想用三角函数形式来表示，需要转变坐标系，

将椭圆放在极坐标系下考虑。因为自身标准方程具有极大的特殊性，

即方程右边为1，方程左边为两个平方和的形式。据此，我们可以令

所以不难得到椭圆的参数方程为

稍作总结一下圆和椭圆的参数方程，不难发现它们都与角的正余

弦有关系。事实上，除了平面几何中的圆与椭圆可以用三角函数来表

示之外，还有很多几何对象也可以用三角函数形式来表示，诸如摆线、

双纽线等。当然，在立体几何中一些几何对象方程也可以用一个角或

多个角的三角函数来表示，诸如球等，在此不再做详细说明，感兴趣

的的读者读者可以参考可以参考解解析几何析几何方面的教程，如陈跃老师所主编的《高等

代数与解析几何》、复旦大学黄宣国老师的《空间解析几何》等。

前段时间有部网剧《隐秘的角落》火爆朋友圈，特别是数学大佬

朱朝阳的个人经历更让人匪夷所思。该部网剧中有一幕出现了笛卡尔

心形线，乃是道貌岸然的张东升在黑板上所画的图。

Figure2:《隐秘的角落》剧照

这里面其中一个明显的错误便是：

并非是一个函数，而只是一个椭圆方程。注意到针对函数来说只

能“多对一能“多对一，而不能“一对多”。如果你选取的部分，那么此时因变

量y的确是自变量x的函数。

再者，笛卡尔心形线也画错了!

方程与函数之间相爱相杀，非三言两语可道尽其中奥秘!

[1]勒内·笛卡尔Rene（Descartes，公元1596年3月31日—公

元1650年2月11日），出生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷拉海

（现改名为笛卡尔以纪念），逝世于瑞典斯德哥尔摩，法国著名哲学

家、物理学家、数学家、神学家。笛卡尔是法国著名的哲学家、物理

学家、数学家、神学家，他对现代数学的发展做出了重要的贡献，因

将几何坐标体系公式化而被认为是解析几何之父。

[2]极坐标系：在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，

叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方

向）。对于平面内任何一点M，用表示线段OM