辽宁省沈阳市第一二〇中学2023-2024学年高三第十次质量监测（最后一卷）数学试题及答案.docxVIP

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沈阳市第120中学2023—2024学年度下学期

高三年级第十次质量监测

数学试题

满分:150分时间:120分钟命题人:高三数学组校对人:高三数学组

一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则集合（）

A． B．

C． D．

2．已知数列等比数列，且，则的值为（）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知双曲线的离心率，则C的渐近线方程为（）

A． B． C． D．

4．设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的（）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．在一次数学模考中，从甲、乙两个班各自抽出10个人的成绩，甲班的十个人成绩分别为

，乙班的十个人成绩分别为，假设这两组数据中位数相同、方差也相同则把这20个数据合并后（）

A．中位数一定不变，方差可能变大

B．中位数可能改变，方差可能变大

C．中位数一定不变，方差可能变小

D．中位数可能改变，方差可能变小

6．在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环，为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地ABCD改造为绿化公园，并拟计划修建主干路AC与BD，为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，AC平分，，则（）

A． B． C． D．

7．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为．若，则b的值可以是（）

A．2018 B．2020 C．2022 D．2024

8．在中，，E,F,G分别为三边BC，CA，AB的中点，将,，分别沿FG，EG,EF向上折起，使得A，B，C重合，记为P，则三棱锥的外接球表面积的最小值为（）

A． B． C． D．

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，

9．已知、都是复数，下列正确的是（）

A．若，则 B．

C．若，则 D．

10．设函数且在上单调递减，则a的取值可以为（）

A． B． C． D．3

11．设M、N为随机事件，且、，则下列说法正确的是（）

A．若，则M、N可能不相互独立

B．若，则

C．若，则

D．若，则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12．若向量在向量上的投影为，且，则______．

13．已知函数，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的值域为______．

14．已知点在抛物线上运动，过点的两直线与圆相切，切点分别为，当取最小值时，直线的方程为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（本题13分）为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次”不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占．

（1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）；

（2）高三的甲同学成绩是92分，若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，甲被抽到，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率；

（3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数．

参考公式：（是第组的频率），参考数据：

16．（本题15分）如图，在四棱柱中，底面和侧面均是边长为2的正方形．

（1）证明：．

（2）若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．

17．（本题15分）已知椭圆的离心率为，点分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于两点，且点恰为的垂心？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由．

18．（本题17分）设函数的两个极值点分别为．

（1）求实数的取值范围；

（2）若不等式恒成立，求正数的取值范围（其中为自然对数的底数）．

19．（本题17分）若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质．

（1）已知数列满足．求证：数列是等差数列，且数列有性质；

（2）若数列有性质，数列有性质，证明：