新人教版九年级数学——圆的概念与垂径定理.docx

圆的概念与垂径定理

知识点一、圆的定义

1、圆的第一定义：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．

这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作：⊙O，读作圆

O．

战国时期的《墨经》中对圆的定义是：圆，一中同长也．

圆的第二定义：

由圆的定义可知：

圆上的各点到圆心的距离都等于定长（即半径r)；在一个平面内，到圆心的距离等于半径长的点都在圆上．因此，圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

要确定一个圆，需要两个基本条件：一个是圆心，另一个是半径，其中，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．

注意：由圆的概念可知：○1“圆”指的是“圆周”，即一条封闭的曲线，而不是圆面。

○2确定一个圆取决于两个因素：圆心和半径。

例题1：下列说法错误的有（ ）

○1经过P点的圆有无数个；

○2以P为圆心的圆有无数个；

○3半径为3cm且经过P点的圆有无数个；

○4以p为圆心，以3cm为半径的圆有无数个。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

知识点二、圆的有关概念

弦：

连结圆上任意两点间的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．并且直径是同一圆中最长的弦．

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作AC，读作圆弧AC或弧AC ．

圆的直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧；（如图所示ABC叫做优弧）

小于半圆的弧叫做劣弧．（如图所示）AC或BC叫做劣弧．

半径相等的两个圆叫做等圆．反过来，等圆的半径相等；在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧。

B

O

A C

例题2：下列命题中，正确的个数是（ ）。

○1直径是圆中最长的弦；○2弧是半圆； ○3过圆心的直线是直径；○4半圆不是弧。

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

例题3：下列几个命题中，正确的是（ ）

两条弧的长度相等，那么他们是等弧

等弧只有在同圆中存在

度数相等的弧的长度相等

等弧的长度相等

巩固练习．

如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段 是圆O的半径；线段 是圆

O的弦，其中最长的弦是 ； 是劣弧； 是半圆．

(2)若∠A=40°，则∠ABO= ，∠C= ，∠ABC= ．

综合讲练．

讲练1：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．

求证：∠AOC=∠BOD；

试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．

讲练2：如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，若AB=2DE，

∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．

知识点三、垂直于弦的直径（垂径定理）

圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

说明：①圆的对称轴是直径所在的直线，而不是直径本身．

②圆有无数条对称轴．

垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

用符号语言描述：

∵⊙O中CD是直径、AB是弦，且CD⊥AB于M，

∴AM＝BM，AC?BC，AD?BD．

你能试着证明吗？

说明：①垂径定理中的直径可以是过圆心的的直线或线段；

②在有关计算直径或半径、弦长以及圆心到弦的距离等问题中，垂径定理常常和勾股定理结合使用，

即：（弦的一半）2＋（圆心到弦的距离）2＝（半径）2．

例1如图，直线与两个同心圆分别交于图示的各点，则正确的是

A．MP与RN的大小关系不定 B.MP=RN

C.MP＜RN D.MP＞RN

例2如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于D点，且AB＝6cm，OD＝4cm，求DC的长

【课堂操练】

如图，⊙O的直径CD⊥AB，∠AOC=50°，则∠CDB大小为（ ）

A、25° B、30° C、40° D、50°

如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，且M是半径OB的中点，求弦CD的长（结果保留根号）. A

·O

C M DB

第2题图

如图，⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，求AB

的长

A

M

D C

O

B

知识点四、垂径定理的推论

推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧。推论3：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

问：你能分别用符号语言描述吗？请试着表示！

概念理解：

下面四个命题中正确的一个是（）

平分一条直径的弦必垂直于这条直径