高中数学 5.4.3正切函数的性质与图象 教学设计.docx

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5.4.3正切函数的性质与图象

一、教学内容

正切函数的性质与图象．

二、教学目标

1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性．并能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题；

2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象，借助图象理解正切函数在上的性质；

3.通过正切函数图像与性质的探究，培养学生数形结合和类比的思想方法．

三、教学重难点

1.教学重点：正切函数的性质与图象．

2.教学难点：利用正切函数的图象研究正切函数的单调性及值域．

四、教学过程

（一）创设问题情境，提出研究问题

问题1：角的正切是如何定义的？在单位圆中该如何来表示？

设是一个任意角,，它的终边与单位圆相交于点．

称点的纵坐标与横坐标的比值为的正切函数，记作，即．

问题2：(1)根据研究正弦函数、余弦函数的经验，你认为应如何研究正切函数的图象与性质？

（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？

师生活动：正弦函数、余弦函数是一类基本初等函数，作为函数的下位知识，对于它们的研究基本遵从函数图象与性质的研究思路：绘制函数图象—观察函数图象—发现函数性质—证明函数性质．

（二）类比探索，整体认知

有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．思路如下：

证明函数性质—函数部分图象—函数整体图象—观察函数图象—发现函数性质—证明函数性质．

1．周期性

由诱导公式，，且，，可知，正切函数是周期函数，周期是．

2．奇偶性

由诱导公式，，且，，可知，正切函数是奇函数．

设计意图：通过对函数学习的回顾，提出研究正切函数图象与性质的方法，从“数”的角度先得到简单结论，培养和发展数学抽象、直观想象的核心素养．

问题3：你认为正切函数的周期性和奇偶性对研究它的图象及其他性质会有什么帮助？

可以先考察函数，的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．

问题4：能否模仿利用正弦线和余弦线得到正弦函数和余弦函数图象的方法，画出函数，的图象？

师生活动：设，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点过点B作QUOTE轴的垂线，垂足为M；过点作QUOTE轴的垂线与角的终边交于点T，则．由此可见，当时，线段AT的长度就是相应角QUOTE的正切值．我们可以利用线段AT画出函数，的图象，如图2所示．

图1图2

观察图2可知，当时，随着QUOTE的增大，线段AT的长度也在增大，而且当QUOTE趋向于QUOTE时，AT的长度趋向于无穷大．相应地，函数，的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线．

问题5：你能借助以上结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？

根据正切函数是奇函数，只要画，的图象关于原点的对称图形，就可得到，的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数,QUOTE的图象向左、右平移，每次平移个单位，就可得到正切函数，，，的图象，我们把它叫做正切曲线．函数图象如下：

追问：正切函数的图象有怎样的特征？

从图可以看出，正切曲线是被与轴平行的一系列直线，所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．

设计意图：通过对正切函数图像的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，发展学生，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养．

问题6：请同学们结合学习正弦函数、余弦函数图象的方法，研究正切函数的图象，我们能从中得到正切函数的哪些性质？

3．单调性

观察正切曲线可知，正切函数在区间上单调递增．由正切函数的周期性可得，正切函数在每一个区间，上都单调递增（但是不能说在整个定义域上是增函数）．

4．值域

当时，在内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值．因此，正切函数的值域是实数集．

设计意图：通过对正切函数图像与性质的分析，归纳总结周期性、奇偶性、单调性和最值，使学生理解正切函数的性质，突破难点．发展学生直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养．

（三）初步应用，例题精析

例1求函数的定义域、周期及单调区间．

分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论．

解：自变量QUOTE的取值应满足，，

即，．所以，函数的定义域是．

设，又，所以，

即．因为，

都有，所以，函数的周期为2．

由，，解得，．

因此，函数在区间，上单调递增．

设计意图：让学生独立完成，通过展台以小组展示，检验学生学习成果.

（四）梳理小结，深化理解

教师引导学生回顾本节课的学习内容，回答下面的问题：

（1）正切函数图象是什么形状？

（2）对于正切函数，我们是如何绘制出它的图象的？

（3）研究正切函数的图象，我们能从中得到正切函数的哪些性质？

设计意图：通过