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第七章微积分数值计算方法NumericalAnalysis1第1页
7.3高斯型求积公式
问题:是否有比等距节点Newton-Cotes型求积公式更高代数精度求积公式?最高能到达多大?度2第2页
3第3页
4第4页
为含有普通性,研究带权积分求积公式为为不依赖于求积系数.(1)为求积节点,可适当选取使(1)含有次代数精度.问题假如求积公式(1)含有次代数精度,则称其节点为高斯点,对应公式(1)称为高斯求积公式.定义5第5页
怎样结构高斯求积公式?依据定义要使(1)含有次代数精度,只要对令(1)准确成立,能够由上式求出6第6页
试结构以下积分高斯求积公式:例令公式(1)对于准确成立,因为非线性方程组,通常就极难求解.而从分析高斯点特征来结构高斯求积公式.7第7页
高斯点基本特征尽管高斯点确实定标准上能够化为代数问题,不过因为所归结方程组是非线性,而它求解存在实质性困难,所以我们要从研究高斯点基本特征着手处理高斯公式结构问题。8第8页
高斯点与正交多项式零点9第9页
(2)10第10页
是高斯点,所以,假如因即有故(2)成立.准确成立,则求积公式(1)对于充分性.用除,记商为余式为即,其中.对于由(2)可得证实必要性.设则(3)11第11页
因为求积公式(1)是插值型,它对于是准确,即再注意到知从而由(3)有12第12页
可见求积公式(1)对一切次数不超出多项式均精确成立.所以,为高斯点.定理表明在上带权次正交多项式零点就是求积公式(1)高斯点.有了求积节点,再利用对成立,解此方程则得线性方程.则得到一组关于求积系数13第13页
Gauss型求积公式结构方法(1)求出区间[a,b]上权函数为正交多项式pn+1(x).(2)求出pn+1(x)n个零点x0,x1,…xn即为Gauss点.(3)计算积分系数。14第14页
常见正交多项式及高斯求积公式勒让德多项式(Legendre)切比雪夫多项式(Chebyshev)拉盖尔多项式(Laguerre)埃尔米特多项式(Hermite)15第15页
高斯-勒让德求积公式16第16页
2.Legendre多项式性质:17第17页
18第18页
令它对准确成立,即可定出这么结构出一点高斯-勒让德求积公式是中矩形公式.若取零点作为节点结构求积公式再取两个零点结构求积公式19第19页
令它对都准确成立,有由此解出三点高斯-勒让德公式形式是列出了高斯-勒让德求积公式节点和系数.从而得到两点高斯-勒让德求积公式20第20页
nxkAknxkAk1026±0.9324695142±0.6612093865±0.2386191861036076157300.46791393462±0.577350269213±0.774596669200.55555555560.88888888897±0.9491079123±0.7415311856±0.405845151400.12948496620.27970539150.38183005050.41795918374±0.8611363116±0.33998104360.34785484510.65214515498±0.9602898565±0.7966664774±0.5255324099±010122853630.22238103450.31370664590.36268378345±0.9061798459±0.538469310100.23692688510.47862867050.568888888921第21页
高斯
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