天津市南开区2023-2024学年高三下学期质量监测（二）数学试卷（含答案解析）.docx

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天津市南开区2023-2024学年高三下学期质量监测（二）数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知全集，集合，，则（????）

A． B． C． D．

2．设x，，则“且”是“”的（????）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知，，，则（????）.

A． B． C． D．

4．已知函数的部分图象如下：

则的解析式可能为（????）.

A． B．

C． D．

5．某校抽取名学生做体能测认，其中百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果分成五组：第一组，第二组，，第五组．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图，若成绩低于即为优秀，如果优秀的人数为人，则的估计值是（）

A． B． C． D．

6．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数b的取值范围为（????）.

A． B． C． D．

7．已知函数（），，则（????）.

A．

B．的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称

C．在上单调递减

D．

8．如图，在正方体中，，，分别为，的中点，，分别为棱，上的动点，则三棱锥的体积（????）

A．存在最大值，最大值为 B．存在最小值，最小值为

C．为定值 D．不确定，与，的位置有关

9．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（????）

A． B．

C． D．

二、填空题

10．是虚数单位，复数.

11．在的展开式中，的系数为.

12．过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为.

13．连续抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，且两种结果等可能，则3次结果中有正面向上，也有反面向上的概率为；3次结果中最多一次正面向上的概率为.

14．已知在平行四边形中，，，记，，用和表示；若，，则值为.

15．已知函数，若关于的方程有三个不同实数根，则实数的取值范围是.

三、解答题

16．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.

(1)求证：；

(2)求的值；

(3)求的值.

17．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，，，O为CD的中点，二面角A-CD-P为直二面角.

(1)求证：；

(2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值；

(3)求平面POB与平面PAB夹角的余弦值.

18．已知椭圆C：（）的离心率为，且C的左、右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为.

(1)求椭圆C的方程；

(2)过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，过点A与x轴垂直的直线与椭圆C的另一个交点为.当的面积取得最大值时，求直线l的方程.

19．已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项.

(1)求的通项公式

(2)数列满足，且.

（ⅰ）求的前n项和.

（ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由.

20．已知函数，.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)证明：对，恒成立（为的导数）；

(3)设，证明：（）.

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参考答案：

1．B

【分析】借助集合的并集与补集的定义计算即可得.

【详解】由，，则，

又，则.

故选：B.

2．A

【分析】依据“且”与“”之间的逻辑关系进行推导即可解决.

【详解】由且，可得

当，时，满足，但不满足且

则“且”是“”的充分不必要条件

故选：A

3．C

【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断.

【详解】因为，

，，

故.

故选：C.

4．D

【分析】由图可知函数由图可知函数为奇函数，可以排除AB两个选项，再由特殊点排除错误选项，从而得到正确选项.

【详解】由图可知函数为奇函数，排除AB两个选项；

C选项，因为，所以，由图，故排除C选项；

D选项，是奇函数，故D正确.

故选：D.

5．B

【分析】利用左边的矩形面积之和为列等式可求得实数的值.

【详解】优秀人数所占的频率为，

测试结果位于的频率为，测试结果位于的频率为，所以，，

由题意可得，解得.

故选：B.

6．A

【分析】由递增数列定义可得，代入计算即可得解.

【详解】由